Примеры систем линейных уравнений: метод решения. Как решается система уравнений? Методы решения систем уравнения

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y - это неизвестные, значение которых надо найти, b, a - коэффициенты при переменных, c - свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 - функции, а (x, y) - переменные функций.

Решить систему уравнений - это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака "равенство" часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения - это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе

Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:

Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.

Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:

Решение с помощью алгебраического сложения

При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Алгоритм действий решения:

1. Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
2. Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
3. Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.

Способ решения введением новой переменной

Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.

Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.

Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.

Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 - 4*a*c, где D - искомый дискриминант, b, a, c - множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.

Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.

Наглядный метод решения систем

Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.

Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.

Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.

Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.

В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.

Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.

Матрица и ее разновидности

Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. n*m имеет n - строк и m - столбцов.

Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей - вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.

Обратная матрица - это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.

Правила преобразования системы уравнений в матрицу

Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение - одна строка матрицы.

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.

Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y - только во второй.

При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.

Варианты нахождения обратной матрицы

Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 - обратная матрица, а |K| - определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.

Определитель легко вычисляется для матрицы "два на два", необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта "три на три" существует формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.

Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом

Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.

В примере a nm - коэффициенты уравнений, матрица - вектор x n - переменные, а b n - свободные члены.

Решение систем методом Гаусса

В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса - Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.

Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 - соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.

После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.

В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:

Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных x n .

Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.

Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.

Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:

Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.

Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака "стрелка" и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.

В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.

Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.

Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.

Департамент образования, науки и молодежной политики Воронежской области

Государственное бюджетное профессиональное
образовательное учреждение Воронежской области
«Лискинский промышленно-транспортный техникум имени А.К. Лысенко»

(ГБПОУ ВО «ЛПТТ имени А.К. Лысенко»)

Методическое пособие

по математике

«Основные приёмы решения систем уравнений»

Преподаватель Варова О.А.

2017 г.

Решением системы называют числа, при подстановке которых в уравнения системы каждое уравнение становится верным числовым равенством. Решить систему уравнений – значит найти все её решения или установить, что система не имеет решения.

Основная идея решения систем уравнений состоит в постепенном переходе от одной системы к другой более простой, но равносильной заданной. Метод подстановки, метод алгебраического сложения и метод введения новых переменных абсолютно корректны с точки зрения равносильности. Если же в процессе решения системы использовались неравносильные преобразования (возведение в квадрат обеих частей уравнения, умножение уравнений или преобразования, которые привели к расширению области определения какого-либо уравнения системы), то все найденные решения следует проверить подстановкой в исходную систему.

Рассмотрим теперь конкретные системы алгебраических уравнений и продемонстрируем различные методы их решений. Предварительно отметим, что, строго говоря, невозможно выделить один метод решения достаточно сложной системы, поскольку, как правило, последовательно задействуются различные приёмы. Но методически очень полезно в каждом примере выделить один метод, не заостряя внимания на других.

Основные методы решения систем уравнений.

1. Метод подстановки.

Системы уравнений появляются при решении задач, в которых неизвестной является не одна величина, а несколько. Это величины связаны определёнными зависимостями, которые записываются в виде уравнений.

Один из основных методов решения систем – метод подстановки.

а) Рассмотрим, например, систему двух уравнений с двумя неизвестными

х и у:

Часто удаётся одно уравнение преобразовать так, чтобы неизвестное явно выражалось как функция другого. Тогда, подставляя его во второе уравнение, получим уравнение с одним неизвестным.

б) Решим систему трёх уравнений с тремя неизвестными методом подстановки:

2. Метод алгебраического сложения.

а) Решим систему Умножим первое уравнение на 2 и складывая полученное уравнение со вторым, приходим к уравнению 22х=33, х=1,5. Подставив в любое уравнение значение х, получим у=-0,5.

б) Решим систему:

Умножая первое уравнение на 5, а второе на 7 и складывая полученные результаты, приходим к уравнению

Заметим, что пара чисел (0;0), являясь решением полученного уравнения, не удовлетворяет исходной системе. Поэтому подстановкой x = ty сводим уравнение к виду Разделив обе части на получим уравнение

Таким образом , исходная система равносильна совокупности систем:

Решая первую систему получим х=4, у=5 и х=-4, у=-5; решение второй – х=3у=х=-3у=

в) Решим систему:

Складывая почленно уравнения данной системы, получаем уравнение которое равносильно следующему (х+у-7)(х+у+7)=0.

Система равносильная исходной, распадается на две системы:

Совокупность этих систем равносильна исходной системе, т.е. каждое решение исходной системы является решением или системы (А), или системы (В) и всякое решение систем (А) и (В) есть решение исходной системы.

Система (А) приводится к виду

Отсюда ясно, что она имеет решение (4;3). Аналогично система (В) имеет решение (-4;-3). Объединив эти решения, находим все решения исходной системы.

Ответ: (4;3),(-4;-3).

г) Решим систему:

Обратим внимание на то, что левые части уравнений содержат одни и те же комбинации неизвестных. Поэтому целесообразно умножить уравнения на подходящие множители с тем, чтобы исключить из системы одно из неизвестных. Из системы исключим сложив второе уравнение с первым, умноженным на -3. В результате получим уравнение которое путём замены xy = t приведём к виду Очевидно, что Таким образом, исходная система распадается на системы:

В первом случае находим Если х=1, то у=2, а если х=-1, то у=-2.

Во втором случае, исключая у, получаем Поэтому вторая из двух последних систем не имеет действительных решений.

Ответ: (1;2), (-1;-2).

3. Метод введения новых переменных.

а ) Решим систему: (А)

Полагая преобразуем систему к виду (Б)

Эта система равносильна каждой из следующих систем:

и

Квадратное уравнение имеет корни Значит система (Б) имеет решения: () и (;, а система (А) имеет решения (2;3) и (3;2).

Рассмотренная система состоит из симметрических уравнений (м етод решения симметричных систем см.ниже).

б) Решим систему:

z =

Тогда первое уравнение примет вид z + = 2. Решим его:

Возвращаясь к переменным х,у, получаем уравнение

Преобразуем его: 3х-2у=2х, х=2у.

Итак, первое уравнение данной системы заменим более простым х=2у, получим систему:

для решения которой используем метод подстановки, подставив первое уравнение во второе.

Соответственно получим: .

Т.к. в процессе решения системы использовался «ненадёжный» метод – возведение в квадрат обеих частей одного из уравнений, - найденные пары значений надо проверить подстановкой в заданную систему. Проверка показывает, что посторонних корней нет.

Ответ: (2;1), (1;

в) Решим систему: (А)

Преобразуем первое уравнение системы:

Введём новые неизвестные u = x + y , v = xy . После упрощения получим (Б)

Система (Б) равносильна каждой из следующих систем:

Последняя система имеет два решения:

Поэтому система (А) равносильна совокупности систем: и

Система (В) имеет решения (2;1) и (1;2); система (Г) решений не имеет.

Ответ: (2; 1), (1;.

г) Решим систему:

«Переделаем» данное разложение уравнений, записав систему в ином виде:

Пусть и учитывая, что запишем исходную систему иначе:

Отсюда и тогда

Таким образом, исходная система равносильная системе

Распадается на две линейные системы:

Ответ: (4; 3), (3;.

4. Метод использования графика.

Каждое из уравнений системы можно рассматривать как уравнение кривой. Поэтому решения системы двух уравнений с двумя неизвестными можно интерпретировать как координаты точек пересечения двух кривых.

5. Метод решения симметричных систем.

Система уравнений называется симметричной, если она составлена из выражений, симметричных относительно неизвестных:

,

Возьмём две буквы.

Два выражения – сумма u = и произведение v = являются основными симметричными выражениями относительно

Другие симметричные выражения можно так же выразить через u и v :

Теорема Виета выражает основные симметричные выражения относительно корней квадратного уравнения

Любое выражение, симметричное относительно корней квадратного уравнения, можно выразить через его коэффициенты, не находя самих корней.

Можно сформулировать теорему, обратную теореме Виета: если числа удовлетворяют системе уравнений то они являются корнями уравнения.

Симметричную систему можно упростить заменой симметричных выражений выражениями через сумму и произведений неизвестных.

а)Например, систему заменой можно привести к системе

Зная по теореме, обратной к теореме Виета, находим х и у из квадратного уравнения

Ответ:

Решение некоторых уравнений полезно сводить к решению симметричных систем.

б)Например, при решении линейной системы часто можно воспользоваться её симметрией:

Сложим все уравнения и получим 10

Теперь вычтем это уравнение из первого, из второго – предварительно умножив это уравнение на 2 и из третьего – предварительно умножив это уравнение на 3, получим:

Разность первой пары уравнений даёт 4

второго и третьего уравнений 4

6.Метод обращения к одному из следствий.

а)Решить систему уравнений:

На первый взгляд кажется, что надо избавиться от дробей, приводя их к общему знаменателю. Однако этот приём не упрощает систему и не даёт возможность исключить одно из неизвестных. К успеху приводит почленное перемножение уравнений системы:

Введём новую переменную z = xy . Получим: (z -6)(z +24)= т.е. ху=8.

Это уравнение рассмотрим совместно с первым:

Теперь воспользуемся методом подстановки . Выразим из второго уравнения через и подставим полученное выражение вместо в первое уравнение:

После упрощений второе уравнение примет вид Его корни Но:

Итак, получили 2 решения: (4;2) и (-4;-2). Но поскольку в процессе решения системы применялся «ненадёжный» метод, найденные пары значений надо проверить подстановкой в заданную систему. Проверка показывает, что пары чисел (4;2) и (-4;-2) являются решениями исходной системы.

Ответ: (4;2) и (-4;-2).

б)Решить систему:

На первый взгляд кажется, что надо избавиться от дробей, приводя их к общему знаменателю. Однако этот приём не упрощает систему и не даёт возможность исключить одно из неизвестных. К успеху приводит почленное перемножение уравнений системы. В результате этой операции получаем уравнение которое вместе с первым уравнением образует систему, являющуюся следствием данной. Исключив из полученной системы, приходим к уравнению Его корни Соответствующие значения найдём из уравнения. Проверка показывает, что пары чисел (2;3) и (-2;-3) являются решениями исходной системы.

Ответ: (2;3) и (-2;-3).

в)Решить систему:

На первый взгляд кажется, что надо попытаться разложить левую часть уравнений на множители, применив метод группировки. Однако это очень сложно. К успеху приводит приём, состоящий в том, что одно из уравнений системы рассматривается как квадратное относительно х или у.

Представим первое уравнение системы как квадратное относительно х:

Представим второе уравнение системы как квадратное относительно х:

и запишем формулу для вычисления корней

Следовательно, исходная система равносильна совокупности систем:

Первая из систем не имеет решения, другие системы имеют соответственно решения: (-2;0), (-3;3), (-4;2).

Ответ: (-2;0), (-3;3), (-4;2).

Методы решения иррациональных систем.

Системы иррациональных уравнений обычно сводят к системам рациональных уравнений с помощью операции возведения обеих частей уравнения в натуральную степень n . При этом следует иметь в виду, что если n - чётное число, то в результате этой операции получается уравнение, являющееся следствием исходного, т.е. среди его корней могут оказаться посторонние, поэтому необходимо сделать проверку. Но если n - нечётное число, то полученное уравнение равносильно исходному.

Но не следует торопиться «освобождаться от корней», применяя упомянутый метод. Он может оказаться неэффективен в начале решения, т.к. приводит к громоздким выражениям. Нужно присмотреться к системе и попытаться упростить её. Например: 1. Решим систему:

Сравнивая левые части уравнений системы, замечаем, что они представляют собой сопряжённые выражения. В таком случае следует воспользоваться приёмом почленного умножения уравнений. Осложнений не будет, т.к. После почленного умножения получаем у=16. Подставляя это значение в первое уравнение, получим. Возведя в квадрат обе части уравнения, получаем Снова возводим в квадрат обе части уравнения, приведя его к виду: , а у=16, то. Значит х=20.

В преобразованиях было дважды применено возведение обеих частей уравнения в чётную степень, т.е. дважды могли получить посторонние корни. Поэтому значения х=20 и у=16 следует проверить подстановкой в исходную систему.

Ответ: (20; 16).

2. Решить систему уравнений:

Воспользуемся методом введения новой переменной: z =

Тогда первое уравнение системы примет вид

Решим это уравнение:

Возвращаясь к переменной х, у, получаем уравнение

Решим это уравнение: 3х-2у=2х, х=2у, а это первое уравнение системы. Получили более простую систему уравнений:

Для решения которой используем метод подстановки, подставив первое уравнение во второе: ,

Получим

Т.к. в процессе решения системы использовался «ненадёжный» (с точки зрения равносильности) метод – возведение в квадрат обеих частей одного из уравнений, - найденные значения надо проверить подстановкой в заданную систему. Проверка показывает, что посторонних корней нет.

Ответ: (2;1); (1;

Пять решений одной системы уравнений.

Математики считают, что полезнее решить одну задачу несколькими способами, чем несколько задач – одним. При поиске новых методов решения задачи иногда обнаруживается связь между разными разделами математики. Приведу один пример.

Решить систему уравнений:

1 способ. Выразим в 1 уравнении через, подставив полученное выражение во 2 уравнение и преобразовав его, получим:

Решим это уравнение как квадратное относительно

D =)= D при всех значениях

Следовательно уравнение (3) имеет решение только при D ,т.е. при

Тогда =1. Подставляя найденные значения, находим

Ответ:

2 способ. Возводим первое уравнение в квадрат и вычтем второе, получим:

или xy + xz + yz =3=

2 xy - 2 xz - 2 yz =0, или

3 способ. Рассмотрим геометрическую интерпретацию. Уравнение (1) описывает плоскость, пересекающую координатные оси в точках А(3;0;0), В(0;3;0) и С(0;0;3), а уравнение (2) – сферу с центром в начале координат и радиусом равным

Для выяснения того, что представляет собой пересечение сферы с плоскостью, нужно сравнить радиус сферы с расстоянием от её центра до плоскости. Расстояние от точки О до плоскости АВС можно найти, вычислив высоту О D тетраэдра ОАВС, записав двумя способами объём тетраэдра

Треугольник АВС правильный, т.к. его стороны являются гипотенузами равных прямоугольных треугольников и равны 3 Тогда

Подставляя найденные значения в соотношение (4), получим, что т.е. радиус сферы в точности равен расстоянию от её центра до плоскости. Это означает, что плоскость касается сферы и исходная система имеет единственное решение, которое легко угадывается:

4 способ. Докажем, что система не имеет других решений. Введём другие переменные: a = x +1, b = y +1, c = z +1. Тогда уравнение примет вид a + b + c =0. (5) Преобразуем второе уравнение:

)=0.

С учётом соотношения (5) получим, что система имеет единственное нулевое решение, что влечёт за собой единственное решение в старых переменных.

5 способ. Рассмотрим случайную величину принимающую с равной вероятностью значения Тогда левые части уравнений исходной системы представляют собой соответственно 3 М и 3М

М Следовательно М =М и дисперсия D =М- (М=0, т.е. = const и, значит,

Итак, одну и ту же задачу мы решили с помощью алгебры, геометрии и теории вероятностей!

Литература:

1.Башмаков М.И.

Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. -4-е изд., стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2012. – 256с.

2.Мордкович А.Г.

Алгебра и начала математического анализа.10 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов.- 7-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2010. – 424 с.: ил.

3.Мордкович А.Г.

Алгебра и начала математического анализа.11 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов.- 4-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2010. – 287 с.: ил.

4.Журнал «Математика в школе» №6, 2008.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

Формирование понятия уравнения в начальных классах

1. История уравнения

2. Содержание и роль линии уравнений в современном школьном курсе математики

3.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ

3.1 Уравнения в начальных классах

3.2 Методика работы над уравнением

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А

решение уравнение математическая задача школа

ВВЕДЕНИЕ

В любой современной системе общего образования математика занимает одно из центральных мест, что несомненно говорит об уникальности этой области знаний.

Что представляет собой современная математика? Зачем она нужна? Эти и подобные вопросы часто задают учителям дети. И каждый раз ответ будет разным в зависимости от уровня развития ребенка и его образовательных потребностей.

Часто говорят, что математика - это язык современной науки. Однако, представляется, что это высказывание имеет существенный дефект. Язык математики распространен так широко и так часто оказывается эффективным именно потому, что математика к нему не сводится.

Выдающийся математик А.Н. Колмогоров писал: "Математика не просто одни из языков. Математика - это язык плюс рассуждения, это как бы язык и логика вместе. Математика - орудие для размышления. В ней сконцентрированы результаты точного мышления многих людей. При помощи математики можно связать одно рассуждение другим… Очевидные сложности природы с ее странными законами и правилами, каждое из которых допускает отдельное очень подробное объяснение, на самом деле тесно связаны. Однако, если вы не желаете пользоваться математикой, то в этом огромном многообразии фактов вы не увидите, что логика позволяет переходить «от одного к другому».

Таким образом, математика позволяет сформировать определенные формы мышления, необходимые для изучения окружающего нас мира.

Важное влияние оказывает курс математики на формирование различных форм мышления: логического, пространственно-геометрического, алгоритмического. Любой творческий процесс начинается с формулировки гипотезы Математика при соответствующей организации обучения, будучи хорошей школой построения и проварки гипотез, учит сравнивать различные гипотезы, находить оптимальный вариант, ставить новые задачи, искать пути их решения. Помимо всего прочего, она вырабатывает еще и привычку к методичной работе, без которой не мыслим ин один творческий процесс. Максимально раскрывая возможности человеческого мышления, математика является его высшим достижением. Она помогает человеку в осознании самого себя формировании своего характера.

Это то, немногое из большого списка причин, в силу которых математические знания должны стать неотъемлемой частью обшей культуры и обязательным элементом воспитаниии обучении р ебенка.

Изучение простейших уравнений и способов их решений прочно вошло в систему начальной математической подготовки.

Актуальность темы нашей работы состоит в том, что изучение младшими школьниками уравнений в начальной школе подготавливает их к более успешному изучению алгебраического материала в основной школе. Уравнения являются одним из средств моделирования изучаемых фрагментов реальности, и знакомство с ними является существенной частью математического образования.

Исходя из этого, цель курсовой работы изучить процесс формирования понятия уравнения на начальном этапе обучения математике.

Объект - процесс изучения алгебраического материала на примере уравнений в начальной школе

Предмет - формирование понятия уравнения в начальных классах.

Гипотеза - формирование понятна уравнения будет успешным, если изучаемые знания обоснованы доступны м и убедительным для детей способом.

Для достижения поставленной шли мною были поставлены следующие задачи:

1. Изучить и проанализировать психолого-педагогическую и методическую литературу по теме исследования,

2. Раскрыть процесс формирования понятия уравнения в обучении математике;

3.Рассмотреть приемы, применяемые при формировании понятия уравнения.

Курсовая работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка использованной литературы.

1. История уравнения

§ Алгебра как искусство решать уравнения зародились очень давно в связи с потребностью практики, в результате поиска общих приёмов решения однотипных задач. Самые ранние дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приёмы решения линейных уравнений. Слово "алгебра" возникло после появления тракта "Китаб аль-джебр валь-мукабала" хорезмского математика и

§ астронома Мухамеда Бен Муса аль Хорезми. Термин "аль-джерб", взятый из названия этой книги, в дальнейшем стал употребляться как алгебра.

§ Знак равенства ввел в 1556 году английский математик Рекорд, который объяснил это так, что ничто не может быть более равным, чем два параллельных отрезка.

§ Франсуам Виемт (фр. Franзois Viиte, seigneur de la Bigotiиre; 1540 -- 13 декабря 1603) -- выдающийся французский математик, один из основоположников алгебры

Создателем современной буквенной символики является французский математик Франсуа Виет (1540 - 1603). До XVI в. изложение алгебры велось в основном словесно. Буквенные обозначения и математические знаки появлялись постепенно. Знаки + - впервые встречаются у немецких алгебраистов XVI в. Несколько позже вводится знак * для умножения. Знак деления (:) был введён лишь в XVII в. Решительный шаг в использовании алгебраической символики был сделан в XVI в., когда французский математик Франсуа Виет (1540-1603) и его современники стали применять буквы для обозначения не только неизвестных (что делалось и ранее), но и любых чисел. Однако эта символика ещё отличалась от современной. Так, Виет для обозначения Неизвестного числа применял букву N (Numerus-число), для квадрата и куба неизвестного буквы Q (Quadratus - квадрат) и C (Cubus - куб). Например, запись уравнения X в кубе, минус 8X в квадрате, плюс 16X, равно 40 у Виета выглядела бы так: 1C-8Q+16N aequ. 40 (aequali - равно). Виет делит изложение на две части: общие законы и их конкретно-числовые реализации. То есть он сначала решает задачи в общем виде, и только потом приводит числовые примеры. В общей части он обозначает буквами не только неизвестные, что уже встречалось ранее, но и все прочие параметры, для которых он придумал термин «коэффициенты» (буквально: содействующие). Виет использовал для этого только заглавные буквы -- гласные для неизвестных, согласные для коэффициентов. Виет свободно применяет разнообразные алгебраические преобразование -- например, замену переменных или смену знака выражения при переносе его в другую часть уравнения.

Новая система позволила просто, ясно и компактно описать общие законы арифметики и алгоритмы. Символика Виета была сразу же оценена учёными разных стран, которые приступили к её совершенствованию. Диофант (не ранее III века н.э.) - единственный известный нам древнегреческий математик, который занимался алгеброй.

Он решал различные уравнения, особое внимание уделял неопределенным уравнениям, теория которых называется теперь «диофантовым анализом». У Диофанта была попытка ввести буквенную символику буквенную символику. Лист из Арифметики (рукопись XIV века). В верхней строке записано уравнение:

Первая книга предварена обширным введением, в котором описаны используемые Диофантом обозначения. Неизвестную Диофант называет «числом» (?сйимьт) и обозначает буквой т, квадрат неизвестной -- символом дн (сокращение от дэнбмйт -- «степень»). Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой, называемой кубо-кубом, и для противоположных им степеней. Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены, причём в каждом члене сначала записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент

§ Эваримст Галуам (фр. Йvariste Galois;25 октября 1811, 25 октября 1811, Бур-ля-Рен, О-де-Сен, Франция -- 31 мая 1832,Франция) -- выдающийся французский математик, основатель современной высшей алгебры.

Эврист Галуа (1811 - 1832) - этот гениальный математик погиб на дуэли, подстроенной его врагами. В ночь перед дуэлью он написал письмо, в котором изложил свои результаты, давшей начало целой науке - «теории Галуа»

§ Нильс Хенрик Абель (1802 - 1829) внес важный вклад в теорию уравнений. В 1824 году он опубликовал доказательство неразрешимости в радикалах общего буквенного выражения пятой степени.

«Абель оставил математикам столь богатое наследие, что им будет чем заниматься в ближайшие 150 лет» (Шарль Эрмит). Нильс Хенрик Абель (норв. Niels Henrik Abel; 5 августа 1802, Фингё -- 6 апреля 1829, Фроланд близ Арендаля) -- знаменитый норвежский математик

1.Из истории возникновения уравнений.

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.

Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX--VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Таким образом, был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.

Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI--Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду (приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака), а затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры (использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д.). На рубеже XVI--XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики. В этом процессе все яснее становилась важность роли, которую играло понятие уравнения в системе алгебраических понятий.

Открытие координатного метода (Декарт, XVII в.) и последовавшее за ним развитие аналитической геометрии позволили применить алгебру не только к задачам, связанным с числовой системой, но и к изучению различных геометрических фигур. Эта линия развития алгебры упрочила положение уравнения как ведущего алгебраического понятия, которое связывалось теперь уже с тремя главными областями своего возникновения и функционирования:

a) уравнение как средство решения текстовых задач;

b) уравнение как особого рода формула, служащая в алгебре объектом изучения;

c) уравнение как формула, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.

Каждое из этих представлений оказалось в том или ином отношении полезным.

Таким образом, уравнение как общематематическое понятие много аспектно, причем ни один из аспектов нельзя исключить из рассмотрения, особенно если речь идет о проблемах школьного математического образования.

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно - методическую линию -- линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики. Выделенным областям возникновения и функционирования понятия уравнения в алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

а) Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики.

В настоящее время ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.

б) Теоретико-математическая направленность линии уравнений раскрывается в двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных классов уравнений, и их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений

в) Для линии уравнений характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики

Эта линия тесно связана с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий,-- это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений и их систем. Области иррациональных и логарифмических выражений связаны соответственно с уравнениями хk = b (k - натуральное число, большее 1) и ax=b.

Линия уравнений тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей -- приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т. д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем.

3. О трактовке понятия уравнения.

Понятие уравнения относится к важнейшим общематематическим понятиям. Именно поэтому затруднительно предложить его определение, одновременно и строгое с формальной точки зрения, и доступное для учащихся, приступающих к овладению школьным курсом алгебры.

Логико-математическое определение уравнения можно привести в такой форме: пусть на множестве М зафиксирован набор алгебраических операций, х -- переменная на М; тогда уравнением на множестве М относительно х называется предикат вида а(х)=b (х), где а(х) и b(х)--термы относительно заданных операций, в запись которых входит символ х. Аналогично определяется уравнение от двух переменных и т. д.

Принятым в логике терминам «терм» и «предикат» соответствуют термины школьной математики «выражение» и «предложение с переменной». Поэтому наиболее близко к приведенному формальному определению следующее определение: «Предложение с переменной, имеющее вид равенства между двумя выражениями с этой переменной, называется уравнением»

Анализируя приведенное математическое определение уравнения, можно выделить в нем два компонента. Первый состоит в том, что уравнение -- это особого рода предикат. Второй уточняет, какого именно рода: это равенство, соединяющее два терма, причем термы также имеют определенный специальный вид. При изучении материала, относящегося к линии уравнений и неравенств, оба компонента играют значительную роль.

Первый -- смысловой компонент, важен прежде всего для уяснения понятия корня уравнения. Кроме того, смысловой компонент почти всегда используется при обосновании корректности того или иного преобразования уравнения.

Второй компонент относится к формальным особенностям записи, изображающей уравнение. Назовем этот компонент знаковым. Он важен в случаях, когда запись уравнения подвергается различным преобразованиям: зачастую такие преобразования производятся чисто механически, без обращения к их смыслу.

Возможность использования в школьном обучении подхода к понятию уравнения, включающего явно упоминание о предложении с переменной, зависит от присутствия этого термина и терминов «истина», «ложь» в обязательном материале курса математики. Если их нет, то привести подобное определение невозможно. В этом случае смысловой компонент понятия уравнения переходит в определение другого понятия, тесно связанного с понятием уравнения,-- корня уравнения. Получается система из двух терминов: термин «уравнение» несет в себе признаки знакового компонента, а термин «корень уравнения» учитывает смысловой компонент. Такое определение приведено, например, в учебнике Колмогорова А. Н.

Часто, особенно в начале систематического курса алгебры, понятие уравнения вводится посредством выделения его из алгебраического метода решения задач. В этом случае независимо от того, каков текст определения, существенным оказывается подход к понятию уравнения, при котором оно представляет косвенную форму задания некоторого неизвестного числа, имеющего в соответствии с сюжетом задачи конкретную интерпретацию. Например, понятие уравнения вводится на материале текстовой задачи: «Конверт с новогодней открыткой стоит 170сум. Конверт дешевле открытки на 70 сумк. Найти стоимость открытки». Переход к определению уравнения осуществляется на основе анализа некоторых формальных особенностей записи.х+(х---70)= 170, выражающей содержание данной задачи в алгебраической форме. С помощью этого же сюжета вводится и понятие корня уравнения. Вот эти определения: «Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство». Указанный способ введения понятия уравнения соответствует еще одному компоненту понятия уравнения -- прикладному.

Еще один подход к определению понятия уравнения получается при сопоставлении области определения уравнения и множества его корней. Обычно множество корней уравнения -- собственное подмножество его области определения. С другой стороны, при решении уравнений приходится использовать преобразования, которые опираются на тождества, т. е. на равенства, истинные на всей области определения. Выделенное здесь противопоставление тождества и уравнения может быть положено в основу определения уравнения: «Буквенное равенство, которое не обязательно превращается в верное численное равенство при допустимых наборах букв, называется уравнением»

Формирование понятия уравнения требует использования еще одного термина: «решить уравнение». Различные варианты его определения отличаются друг от друга, по существу, только наличием или отсутствием в них термина «множество».

Таким образом, при освоении понятия уравнения необходимо использовать термины «уравнение», «корень уравнения», «что значит решить уравнение». При этом наряду с компонентами понятия уравнения, входящими в текст определения, надо включать и все другие его компоненты по мере развертывания материала данной линии.

В определении понятия уравнения используется один из двух терминов: «переменная» или «неизвестное». Различие между ними состоит в том, что переменная пробегает ряд значений, не выделяя ни одного из них специально, а неизвестное представляет собой буквенное обозначение конкретного числа (поэтому этим термином удобно пользоваться при составлении уравнений по текстовым задачам). Вопросы, связанные с выбором одного их этих терминов для использования в школьной практике, в настоящее время еще нельзя считать окончательно решенными. Выбор того или иного из них влечет определенные различия в развертывании содержания линии уравнений и неравенств. Так, с термином «переменная» связана операция подстановки числа вместо буквы, поэтому в уравнение а(х)=b(х) можно подставлять вместо х конкретные числа и находить среди них корни. Термин же «неизвестное» обозначает фиксированное число; подставлять число на место буквы, обозначающей неизвестное, поэтому нелогично. Нахождение корней уравнения а(х)=b(х) с этой точки зрения должно осуществляться с помощью действий, при которых это равенство рассматривают как верное и пытаются привести его к виду х=х, где х -- числовое выражение.

При описании методики мы будем пользоваться термином «неизвестное», который ближе, чем «переменная», связан с алгебраическим методом решения текстовых задач и тем самым с прикладной направленностью линии уравнений и неравенств.

2.Равносильность и логическое следование.

Рассмотрим логические средства, используемые в процессе изучения уравнений и неравенств. Наиболее важным среди них является понятие равносильности.

Напомним, что уравнения называются равносильными, если равносильны соответствующие предикаты, т. е. если выполнены условия: области определения уравнений одинаковы и множества их корней равны. Имеются два пути установления равносильности уравнений. Первый: используя известные множества корней уравнений, убедиться в их совпадении. Второй: используя особенности записи уравнений, осуществить последовательный переход от одной записи к другой посредством преобразований, не нарушающих равносильности.

Очевидно, что для большинства заданий второй путь более характерен. Это и понятно, ведь равносильность в теории уравнений как раз и используется для того, чтобы указать конкретные правила для решения уравнений. Однако в преподавании ограничиваться им нецелесообразно, поскольку он относится только к практическому применению равносильности и требует первого для своего обоснования. Вместе с тем усвоение понятия равносильности как равносильности предикатов требует значительной культуры мышления и не может быть усвоено на начальных этапах изучения школьного курса алгебры без специальных значительных усилий.

В отношении формирования понятия равносильности и его применения к решению уравнений учебные пособия по алгебре можно разделить на две группы. К первой относятся те пособия, в которых использование равносильных преобразований основано на явном введении и изучении понятия равносильности; ко второй -- те, в которых применение равносильных преобразований предшествует выделению самого понятия. Методика работы над понятием равносильности имеет при указанных подходах значительные отличия.

В связи с рассматриваемым вопросом в изучении материала линии уравнений и неравенств можно выделить три основных этапа. Первый этап охватывает начальный курс школьной математики и начало курса алгебры. Здесь происходит ознакомление с различными способами решения отдельных, наиболее простых классов уравнений. Используемые при этом преобразования получают индуктивное обоснование при рассмотрении конкретных примеров. По мере накопления опыта индуктивные рассуждения все чаще заменяются такими, где равносильность фактически используется, но сам термин не употребляется. Длительность этого этапа может быть различной; она зависит от методических установок, принятых в данном учебном пособии.

На втором этапе происходит выделение понятия равносильности и сопоставление его теоретического содержания с правилами преобразований, которые выводятся на его основе. Длительность этого этапа незначительна, поскольку на нем происходит только выделение этого понятия и его использование на нескольких теоретических примерах.

На третьем этапе на основе общего понятия равносильности происходит развертывание и общей теории, и теории отдельных классов уравнений. Такой стиль характерен для курса алгебры и начал анализа, изучаемого в старших классах средней школы. Он применяется и в некоторых пособиях по алгебре для неполной средней школы.

Помимо равносильных, к изучению материала линии уравнений применяются и другие, вообще говоря, не равносильные преобразования. Большая часть из них в школьном курсе не выявляется, хотя они более или менее существенно используются, в частности, при изучении уравнений. Единственным исключением служит понятие логического следования, которое в ряде учебных пособий является предметом изучения. Методика работы с понятием логического следования (а также с представлением о нем в случае, если понятие не вводится) имеет много общих черт с методикой изучения равносильности и равносильных преобразований.

Логическое следование начинает применяться значительно позже равносильности и осваивается в качестве некоторого дополнения к нему. При решении уравнений при прочих равных условиях предпочтение отдается равносильному преобразованию; логическое следование применяется лишь тогда, когда соответствующего равносильного преобразования найти не удается. Это, однако, не означает, что использование логического следования -- вынужденная мера. Нередко в практике работы учителей логическое следование применяется как прием, упрощающий процесс решения, если сохранение равносильности может быть достигнуто сравнительно дорогой ценой.

Среди неравносильных преобразований есть преобразования, не являющиеся логическим следованием. Например, переход к рассмотрению частного случая (пример: переход от уравнения а -b= 0 к рассмотрению уравнения а=0). Такие переходы можно рассматривать как практические приемы, позволяющие сосредоточить внимание на отдельных шагах процесса решения уравнения.

О классификации преобразований уравнений и их систем.

Можно выделить три основных типа таких преобразований:

1) Преобразование одной из частей уравнения.

2) Согласованное преобразование обеих частей уравнения.

3) Преобразование логической структуры.

Преобразования второго типа сравнительно многочисленны. Они составляют ядро материала, изучаемого в линии уравнений.

Приведем примеры преобразований этого типа.

1)-Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же выражения.

2) Умножение (деление) обеих частей уравнения на одно и то же выражение.

3) Переход от уравнения a=b к уравнению ¦ (a)=¦ (b), где ¦ - некоторая функция, или обратный переход.

К третьему типу преобразований относятся преобразования уравнений, и их систем, изменяющие логическую структуру заданий. Поясним использованный термин «логическая структура». В каждом задании можно выделить элементарные предикаты -- отдельные уравнения. Под логической структурой задания мы понимаем способ связи этих элементарных предикатов посредством логических связок конъюнкции или дизъюнкции.

В зависимости от средств, которые используются при преобразованиях, в этом типе можно выделить два подтипа: преобразования, осуществляемые при помощи арифметических операций и при помощи логических операций. Первые можно назвать арифметическими преобразованиями логической структуры, вторые -- логическими преобразованиями логической структуры.

Изучение и использование преобразований уравнений и их систем, с одной стороны, предполагают достаточно высокую логическую культуру учащихся, а с другой стороны, в процессе изучения и применения таких преобразований имеются широкие возможности для формирования логической культуры. Большое значение имеет выяснение вопросов, относящихся к характеризации производимых преобразований: являются ли они равносильными или логическим следованием, требуется ли рассмотрение нескольких случаев, нужна ли проверка? Сложности, которые приходится здесь преодолевать, связаны с тем, что далеко не всегда возможно привести характеризацию одного и того же преобразования однозначно: в некоторых случаях оно может оказаться, например, равносильным, в других равносильность будет нарушена.

В итоге изучения материала линии уравнений учащиеся должны не только овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но и научиться использовать логические средства для обоснования решений в случаях, когда это необходимо.

4.Логические обоснования при изучении уравнений

При изучении материала линии уравнений значительное внимание уделяется вопросам обоснования процесса решения конкретных заданий. На начальных этапах изучения курса алгебры и в курсе математики предшествующих классов эти обоснования имеют эмпирический, индуктивный характер. По мере накопления опыта решения уравнений, систем различных классов все большую роль приобретают общие свойства преобразований. Наконец, достигнутый уровень владения различными способами решения позволяет выделить наиболее часто используемые преобразования (равносильность и логическое следование). Учебные пособия по алгебре имеют существенные различия в отношении описанных способов обоснования. Тем не менее выделяются все указанные направления, причем в общей для них последовательности. Кратко рассмотрим каждое из этих направлений.

Эмпирическое обоснование процесса решения. Таким способом описываются приемы решения первых изучаемых классов уравнений. В частности, это характерно для уравнений 1-й степени с одним неизвестным. Методика изучения этих уравнений состоит в предъявлении алгоритма решения таких уравнений и разборе нескольких типичных примеров. Указанный алгоритм формируется, естественно, далеко не сразу. Перед этим разбирается несколько примеров, причем цель рассмотрения состоит в выделении в последовательности действий нужных для описания алгоритма операций. Объяснения учителя могут быть такими: «Нужно решить уравнение 5x+4=3x+10. Постараемся все члены, содержащие неизвестное, собрать в одной части, а все члены, не содержащие неизвестное,-- в другой части уравнения. Прибавим к обеим частям уравнения число (--4), данное уравнение примет вид 5х=3x+10--4. Теперь прибавим к обеим частям уравнения (--3х), получим уравнение 5х--3x=10--4. Приведем подобные члены в левой части уравнения, а в правой вычислим значение выражения; уравнение примет вид 2х=6. Разделим обе части уравнения на 2, получим х=3». Этот рассказ сопровождается последовательно возникающей на доске записью преобразований:

Анализируя решение, учитель может прийти к правилам решения уравнений 1-й степени с одним неизвестным. Обратим внимание на некоторые формальные пробелы этого изложения. Прежде всего, в таком рассказе не акцентируется внимание на том, что под действием преобразований уравнение преобразуется в некоторое новое уравнение. Ученики как бы имеют дело все время с тем же уравнением. Если бы упор делался непосредственно на переход от одного уравнения к другому, то это потребовало бы более внимательного анализа представлений, связанных с равносильностью, что как раз не характерно для первых этапов обучения алгебре.

Далее, вопрос о том, все ли корни уравнения найдены, здесь не ставится. Если даже он и возникает по ходу обсуждения процесса решения, то ответ на него, как правило, не дается. Основную роль играют действия по переносу членов из одной части уравнения в другую, группировка подобных членов.

Таким образом, вопросы обоснования решения уравнения стоят на втором плане, а на первом -- формирование прочных навыков преобразований. Отсюда можно сделать вывод: на этом этапе проверка найденного корня служит необходимой частью обоснования правильности решения.

Внешне различие между двумя способами обоснования (помимо того, что в первом используется термин «множество») проявляется в том, что в первом из них пользуются свойствами равенств с переменными, а во втором -- свойствами числовых равенств. Сложность обучения любому из этих способов примерно одинакова.

Переход к дедуктивному обоснованию может производиться на различном материале. Например это можно сделать при изучении линейного уравнения с двумя переменными, системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, линейного уравнения с одним неизвестным. Необходимо, однако, отметить, что, каким бы ни был способ обоснования, он не является самоцелью в курсе школьной математики. Цель изучения обоснований состоит в обеспечении осознанности процесса решения. После того как она достигнута, дальнейшее использование уже обоснованного приема приводит к формированию навыка, которым учащиеся пользуются в дальнейшем, возвращаясь к обоснованию приема только изредка.

Введение для обоснования решения уравнений и их систем понятий равносильности и логического следования. Рассмотренные приемы обоснования опираются на связь линии уравнений и неравенств с числовой системой. Однако последовательное применение этих приемов затруднительно из-за громоздкости рассуждении. Поэтому на определенном этапе изучения содержания курса алгебры происходит выявление общелогической системы обоснований. Уже говорилось о том, что в эту систему входят понятия равносильности и логического следования

Обратимся к разобранному уравнению 5х+4=3x+10. С использованием равносильности его решение проводится так: «Поскольку перенос членов уравнения из одной части в другую с изменением знака -- равносильное преобразование, то, осуществив его, приходим к уравнению, равносильному данному: 5х--3х=10--4. Упрощая выражения в левой и правой частях уравнения, получим 2х=6, откуда х=3».

В случае отсутствия понятий равносильности и логического следования описание процесса решения также становится постепенно все более сжатым. Отсутствие указанных терминов проявляется в том, что само описание решения не содержит элементов обоснования, которое в этих условиях произвести достаточно сложно. По этой причине в пособиях, где равносильность и логическое следование появляются поздно, сравнительно большое внимание уделяется формированию не общих приемов решения уравнений, а навыков решения уравнений тех или иных классов.

Использование логической терминологии при описании решений позволяет параллельно с нахождением корней получать также и логическое обоснование.» Особенно велика роль логических понятий при итоговом обобщающем повторении курса алгебры и всего курса математики средней школы. Поскольку при этом необходимо выявить структуру крупных частей изученного материала, отсутствует возможность вновь пройти весь путь нахождения приемов решений различных классов уравнений, неравенств и их систем. Логические понятия позволяют не только быстро восстановить путь нахождения таких приемов, но и одновременно обосновать их корректность. Тем самым происходит развитие средств логического мышления учащихся. Учитывая это, на этапах обобщающего повторения целесообразно формулировать свойства равносильности и логического следования в общем виде и иллюстрировать их заданиями, относящимися к различным классам уравнений и их систем.

Что такое уравнение?

Система РО.Описание методики работы над построением и решением уравнений рассмотрим с рассмотрения различных определений уравнения.В школьной энциклопедии уравнение определено как “два выражения, соединенные знаком равенства; в эти выражения входят одна или несколько переменных, называемых неизвестным. Решить уравнение - значит найти все те значения неизвестных (корни или решения уравнения), при которых оно обращается в верное равенство или установить, что таких значений нет”. Там же дано определение уравнения как “аналитической записи задачи о разыскивании значений аргументов, при которых значения двух функций равны”. Понятно, что под аналитической записью и понимается запись равенства, левая или правая части которого содержат неизвестную (неизвестные) букву (или число). Именно буквенное выражение определяет функцию от входящих в него букв, заданную на допустимых числовых значениях.

Введение записи задачи (о нахождении неизвестной величины) с помощью уравнения начинается с конкретной задачи. Способы составления и решения уравнений опираются на отношение целого и его частей, а не на 6 правил нахождения неизвестных при сложении, вычитании, умножении, делении. Для того, чтобы найти способ решения уравнения, достаточно определить сначала по схеме, а позже и сразу по формуле, чем является неизвестная величина: частью или целым. Если известная величина является целым, то для ее нахождения нужно сложить, а если она часть, то из целого нужно вычесть известные части. Таким образом, ребенку не нужно запоминать правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого. Успешность ребенка, его навык при решении уравнений будут зависеть от того, может ли ребенок переходить от описания отношения между величинами с помощью схемы к описанию с помощью формулы и наоборот. Именно этот переход от уравнения как одного из вида формул к схеме и определения с помощью схемы характера (часть или целое) неизвестной величины являются теми основными умениями, которые дают возможность решать любые уравнения, содержащие действия сложения и вычитания. Другими словами, дети должны понять, что для правильного выбора способа решения уравнения, а значит, и задачи нужно уметь видеть отношение целого и частей в чем и поможет схема. Схема здесь выступает в качестве средства решения уравнения, а уравнение, в свою очередь, как средство решения задачи. Поэтому большинство заданий ориентировано на составление уравнений по заданной схеме и на решение текстовых задач путем составления схемы и с ее помощью составления уравнения, позволяющего найти решение задачи. Традиционная школа. Изучение уравнений в начальных классах традиционной школы происходит в несколько этапов. Программой традиционной школы предусмотрено знакомство детей с уравнениями первой степени с одной неизвестной. Большое значение в плане подготовки к введению уравнений имеют упражнения на подбор пропущенного числа в равенствах, деформированных примерах, вида 4+=5, 4-=2, -7=3, и т.п. в процессе выполнения таких упражнений дети привыкают к мысли, что неизвестным может быть не только сумма или разность, но и одно из слагаемых (уменьшаемое или вычитаемое). До 2 класса неизвестное число обозначается, как правило, так: , ?, *. Теперь же для обозначения неизвестного числа используют буквы латинского алфавита. Равенство вида 4 + х = 5 называют уравнением. Равенство, где есть буква, называют уравнением.На первом этапе уравнения решают на основе состава числа. Учитель знакомит с понятием неизвестного, понятием уравнение, показывает разные формы чтения, учит записывать уравнения по диктовку, разбирает понятия “решить уравнение”, “что называется корнем”, “что есть решение уравнения”, учит проверять решенные уравнения.На втором этапе решение уравнений происходит с использованием зависимости между компонентами. В этом случае при нахождении неизвестного числа можно пользоваться приемом замены данного уравнения равнозначным ему уравнением. Опорой перехода может быть граф. Приведу примеры уравнений и замены их равнозначными уравнениями с опорой на графы.

х: 5 = 7

х = 7 5

35: 5 = 7

После того как учащиеся научатся решать простейшие уравнения, включаются более сложные уравнения видов: 48 - х = 16 + 9, а - (60 - 14) = 27, 51 - (х + 15) = 20, решение которых выполняется также на основе взаимосвязи между результатами и компонентами арифметических действий, ведется подготовка к решению задач способом составления уравнений. Для решения таких уравнений необходимы знания порядка действий в выражении, а также умения выполнять простейшие преобразования выражений. Уравнения указанных видов вводятся постепенно. Сначала простейшие уравнения усложняются тем, что их правая часть задается не числом, а выражением. Далее включаются уравнения, в которых известный компонент задан выражением. Полезно учить читать эти уравнения с названием компонентов. Наконец, приступают к решению таких уравнений, где один из компонентов является выражением, включающим неизвестное число, например: 60 - (х + 7) = 25, (12 - х) + 10 = 18.

При решении уравнений такого вида приходится использовать дважды правила нахождения неизвестных компонентов. Рассмотрим.Обучение решению таких уравнений требует длительных упражнений в анализе выражений и хорошего знания правил нахождения неизвестных компонентов. На первых порах полезны упражнения в пояснении решенных уравнений. Кроме того, следует чаще решать такие уравнения с предварительным выяснением, что неизвестно и какие правила надо вспомнить, чтобы решить данное уравнение. Такая работа предупреждает ошибки и способствует овладению умением решать уравнения.

Особое внимание следует уделять проверке решения уравнения. Учащиеся должны четко знать, усвоить последовательность и смысл действий, выполняемых при проверке: найденное число подставляют вместо буквы в выражение, затем вычисляют значениеэтого выражения и, наконец, сравнивают его с заданным значением или с вычисленным значением выражения, стоящего в другой части уравнения. Если получаются равные числа, значит, уравнение решено верно.

Дети могут выполнять проверку устно или письменно, но при этом всегда должны быть четко выделены основные ее звенья: подставляем…, вычисляем…, сравниваем…

3. ТЕОРИТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ

3.1 Уравнения в начальных классах

Описание методики работы над построением и решением уравнений рассмотрим с рассмотрения различных определений уравнения.

В школьной энциклопедии уравнение определено как “два выражения, соединенные знаком равенства; а эти выражения входят одна или несколько переменных, называемых неизвестным. Решить уравнение - значит найти все те значения неизвестных (корни или решения уравнения), при которых оно обращается в верное равенство или установить, что таких значений нет” (Истомина 2008:155). Там же дано определение уравнения как “аналитической записи задачи о разыскивании значений аргументов, при которых значения двух функций равны (Истомина 2008:156).

Понятно, что под аналитической записью и понимается запись равенства, левая или правая части которого содержат неизвестную (неизвестные) букву (или число). Именно буквенное выражение определяет функцию от входящих в него букв, заданную на допустимых числовых значениях.

Введение записи задачи (о нахождении неизвестной величины) с помощью уравнения начинается с конкретной задача. Способы составления и решения уравнений опираются на отношение целого и его частей, а не на 6 правил нахождения неизвестных при сложении, вычитании, умножении, делении.

Для того чтобы найти способ решения уравнение, достаточно определить сначала по схеме, а позже и сразу по формуле, чем является неизвестная величина: частью или целым. Если известная величина является целым, то для ее нахождения нужно сложить, а если она часть, то из целого нужно вычесть известные части. Таким образом, ребенку ненужно запоминать правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого.

Успешность ребенка, его навык при решении уравнений будут зависеть от того, может ли ребенок переходить от описания отношения между величинами с помощью схемы к описанию с помощью формулы и наоборот. Именно этот переход oт решаем как одного из вида формул к схеме и определения с помощью схемы характера (часть или целое) неизвестной величины являются темы основными умениями, которые дают возможность решать любые уравнения, содержащие действия сложения и вычитания.

Другими словами, дети должны понять, что для правильного выбора способа решения уравнения, а значит и задачи нужно уметь видеть отношение целого и частей, а чем и поможет схема. Схема здесь выступает в качества средства решения уравнения, а уравнение, в свою очередь, как средство решения задачи. Поэтому большинство заданий ориентировано на составление уравнений по заданной схеме и на решение текстовых задач путем составления схемы и с ее помощью составления уравнения, позволяющего найти решения задачи.

Изучение уравнений в начальных классах происходит в несколько этапов. Программой школы предусмотрено знакомство детей с уравнениями первой степени с одной неизвестной. Большое значение в плане подготовки к введению уравнений имеют упражнения на подбор пропущенного числа в равенствах, деформированных примерах, вида 4+ =5, 4- =2, -7=3 и т.п.

В процессе выполнения таких упражнений дети привыкают к мысли, что неизвестным может быть не только сумма или разность, но и одно из слагаемых (уменьшаемое или вычитаемое).

До 2 класса неизвестное число обозначается, как правило, так: , ?, *. Теперь же для обозначения неизвестного числа используют буквы латинского алфавита. Равенство 4+х=5 с называют уравнением. Равенство, где есть буквы называют уравнением (Приложение А)

На первом этапе уравнения решают на основе состава числа. Учитель знакомит с понятием неизвестного, понятием уравнение, показывает разные формы чтения, учит записывать уравнения по диктовку, разбирает понятия «решить уравнения» «что называется корнем», « что есть решение уравнения», учит проверять решенные уравнения.

На втором этапе решения уравнения происходит с использованием зависимости между компонентами. В этом случае при нахождении неизвестного числа можно пользоваться приемом замены данного уравнения равнозначным ему уравнением. Опорой перехода может быть граф (Истомина 2008:161).

Приведу примеры уравнений в замены их равнозначными уравнениями с опорой на графы.

После того как учащиеся научатся решать простейшие уравнения, включаются более сложные уравнения видов:

48 - х = 16 + 9

а - (6о -14) = 27

51-(х +15) = 20,

решение, которых выполняется также на основе взаимосвязи между результатами и компонентами арифметических действий, ведется подготовка к решению задач способом составления уравнений

Для решения таких уравнений необходимы знания порядка действий в выражении, а также умения выполнять простейшие преобразования выражений. Уравнения указанных видов вводятся постепенно. Сначала простейшие уравнения усложняются тем, что их правая часть задается не числом, а выражением.

Далее включаются уравнения, в которых известный компонент задан выражением. Полезно учить читать эти уравнения с названием компонентов. Наконец, приступают к решению таких уравнений, где один из компонентов является выражением, включающим неизвестное число, например:

(12-х) + 10 = 18.

При решении уравнений такого вида приходится использовать дважды правила нахождения неизвестных компонентов. Рассмотрим:

Обучение решению таким уравнений требует длительных упражнений в анализе выражений и хорошего знания правил нахождения неизвестных компонентов. На первых порах полезны упражнения в пояснении решенных уравнений.

Кроме того, следует чаще решать такие уравнения с предварительным выяснением, что неизвестно и какие правила надо вспомнить, чтобы решить данное уравнение.

Такая работа предупреждает ошибки и способствует овладению умением решать уравнения.

Особое внимание следует удалять проверке решения уравнения. Учащиеся должны четко знать, усвоить последовательность и смысл действий, выполняемых при проверке: найденное число представляют вместо буквы в выражение, затем вычисляют значение этого выражения и, наконец, сравнивают его с заданным значением или с вычисленным значением выражения, стоящего в другой части уравнения.

Если получается равные числа, значит, уравнение решено, верно.

Дети могут выполнять проверку устно или письменно, но при этом всегда должны быть четко выделены основные ее звенья: подставляем..., вычисляем..., сравниваем...

Уравнения используются также для решения задач. Существует правило составления уравнения:

1.Выясняется, что известно, что неизвестно.

2.Обозиачепе неизвестного за х.

3.Составление уравнения.

4.Решение уравнения

5.Полученное число истолковывается в соответствии с требованием задачи (Бантова МЛ, Бельтюкова П.В.2006:222).

Необходимым требованием для формирования умения решать задачи с помощью уравнений является умение составлять выражения по их условиям.

Поэтому вводится запись решения задач в виде выражения. Учащиеся упражняются в объяснения смысла выражений, составленных по условию задачи; сами составляют выражения по заданному условию задачи, а также составляют задачи по их решению, записанному в виде выражений.

Одним из самых трудных моментов является запись задачи в виде уравнения, поэтому, вначале при составлении уравнения широко используются средства наглядности: рисунки, схемы, чертежи.

Для формирования у учащихся умения решать задачи алгебраическим способом необходимо, чтобы они могли решать уравнения, составлять выражения по задаче и осознавать сущность процесса «уравнивания неравенств», т е преобразования неравенства в уравнение.

Уже на первых уроках дети, сравнивая два множества, устанавливают, в каком из них содержится больше элементов и что нужно сделать, чтобы в обоих множествах было одинаковое их количество.

Вместе с тем возможности использования алгебраического метода решения текстовых задач в начальных классах ограничены, поэтому арифметический способ остается школа основным.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что изучение уравнений продолжается и на протяжении всех трех лет начального обучения в школе.

3 .2 Методика работы над уравнением

Нужны и уравнения маленьким детям? Легко ля понять пример, когда ответ прячется я таинственным «х», который и прочесть-то не все могут правильно, то ли «яке», то ли «ха». Решение задач с помощью уравнений таинственно и интересно, а сокрытие тайн для любознательного человека вредно. Поэтому знакомство с уравнениями надо начинать с первого класса. И провести его можно следующим образом.

Подобные документы

Методика преподавания математики в начальных классах. Множественное истолкование натурального числа, анализ программ дошкольного учреждения и начальной школы по его преемственности. Методика формирования математических умений в младшем школьном возрасте.

дипломная работа , добавлен 14.03.2011


Анализ школьных учебников по алгебре и началам анализа. Методика изучения иррациональных уравнений и неравенств на уроках математики. Основные понятия и наиболее важные приемы преобразования уравнений. Основы и методы решения иррациональных неравенств.

дипломная работа , добавлен 28.05.2008


Характеристика форм работы младших школьников на уроках математики. Использование различных форм работы в процессе решения текстовой задачи. Решение текстовых задач в начальной школе. Диагностика уровня сформированности умений школьников решать задачи.

дипломная работа , добавлен 04.09.2010


Классификация и функции задач в обучении. Методические особенности решения нестандартных задач. Особенности решения текстовых задач и задач с параметрами. Методика решения уравнений и неравенств. Педагогический эксперимент и анализ результатов.

дипломная работа , добавлен 24.02.2010


Приемы преобразования уравнений. Методика решения иррациональных уравнений. Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений. Применение общих методов для решения иррациональных уравнений. Методика решения иррациональных неравенств.

курсовая работа , добавлен 12.06.2010


Педагогические основы, цели и содержание, организация и основные формы внеклассной работы по литературному чтению в начальных классах. Описание и анализ педагогического опыта внеклассной работы. Пробуждение в ребенке интереса к чтению, желания читать.

дипломная работа , добавлен 04.03.2010


Цель изучения уравнений в курсе математики в коррекционно-развивающих классах, методика обучения их решению на основании свойств равенств. Виды уравнений, решаемых в начальном классе, их связь с изученным материалом. Образцы записи и проверки решения.

курсовая работа , добавлен 23.05.2014


Определение сущности числа, история его происхождения. Основные функции количественных натуральных чисел, их теоретико-множественный смысл. Использование упражнений, игр и сказок в различных программах по математике для изучения чисел в начальных классах.

курсовая работа , добавлен 19.01.2012


Понятие линии второго порядка в аналитической геометрии, содержание темы в элементарной математике. Примеры фрагментов уроков алгебры в 7-9 классах. Анализ содержания темы "Линии второго порядка" в учебниках по алгебре. Вывод уравнения окружности.

дипломная работа , добавлен 25.04.2012


Характеристика процесса обучения с использованием игровых технологий в начальных классах на уроках музыки. Изучение развития творческой активности младших школьников в процессе реализации игровой технологии. Описания основных видов педагогических игр.

Разберем два вида решения систем уравнения:

1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

Решение системы уравнений методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)

Пример №2:

Решим методом почленного сложения (вычитания).

Решение системы уравнений методом сложения

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.

Введение

1 Уравнения и их решения

2 Методика изучения уравнений в начальной школе

3 Способы развития познавательного интереса к математике

Вывод в 1 главе

1 Анализ проведенных уроков

Выводы по 2 главе

Заключение

Приложение

Введение

Уравнения в школьном курсе математике занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).

Актуальность темы исследования: решение уравнений всегда было и до сих пор остается острой проблемой в методике математики, так как, несмотря на напряженные поиски и безусловные достижения в этой области, степень усвоения материала учащимися невысока. В период обучения в начальной школе формируются базовые знания, умения и навыки, на основе которых будет строиться дальнейшее изучение математики. Начальная школа занимает решающее место: проблема преемственности может не возникнуть только в случае, когда правильно организованно начальное обучение. Другими словами, на начальную школу возлагается высочайшая ответственность за все дальнейшее обучение математики. Вот почему так важно дать учащимся наиболее полную информацию о сущности уравнения и показать им пути его решения.

Цель работы: теоретически обосновать и проверить на практике эффективность использования в обучении младших школьников метода решения уравнений, основанного на повышении познавательного интереса к математике, связи математики с другими науками (на примере комплекса заданий для третьего класса).

Актуальность и цель исследования обусловили следующие задачи:

Изучить состояние проблемы, опираясь на литературные источники и школьную практику;

Изучить особенности обучения решению уравнений младшими школьниками;

Разработать комплекс уроков по математике в начальной школе по теме «Уравнения. Решение уравнений», проверить эффективность проведенных уроков. Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: изучение психолого-педагогической, методической литературы по проблеме исследования, программ, учебников, методических пособий по математике для начальной и средней школы; обобщение опыта работы учителей начальных классов.

Практическая значимость результатов исследования: Научно-практическая значимость работы определяется тем, что теоретические положения, конкретный материал, конспекты уроков, предложенные упражнения, выводы проведенного исследования могут быть использованы учителями начальных классов, учителями математики.

уравнение математика умножение

Глава 1. Теоретические основы обучения решению уравнений в начальной школе

1.1 Уравнения и их решения

Уравнение - это самая простая и самая распространенная форма математической задачи. Возьмем два числовых выражения и поставим между ними знак равенства. Мы получим числовое равенство. Оно будет верным или неверным в зависимости от того, равны или не равны значения взятых числовых выражений. Классическими примерами являются равенства 2 ·2 =4 и 2 ·2 =5

Решить уравнение - это значит найти все его корни или убедиться, что корней нет. Например, установим, является ли уравнением с одним неизвестным выражение m+0=m. Рассматриваемое выражение представляет собой равенство, содержащее обозначенное буквойm неизвестное число. Если требуется найти это неизвестное число, то рассматриваемое утверждение является уравнением. Если же рассматривать это выражение как запись того, что прибавление к любому числу числа 0 дает сумму, равную первоначальному числу, то утверждение не является уравнением. У уравнения m+0=m сколько угодно решений: любое число m является его решением.

У уравнения a+3=4+a нет решений. У уравнения a+3=4 одно решение: a=1

Если требуется решить уравнение, то надо найти все его корни или доказать, что корней нет. Отметим, что когда мы говорим "равенство двух числовых выражений", мы вовсе не утверждаем, что эти два выражения действительно равны. Соединить два числовых выраженияА и В знаком "=" и говорить о получившемся равенстве А=В можно независимо от того, верно или неверно сформулированное нами утверждение "А=В".

Возьмем два буквенных выражения и соединим их знаком равенства. Получим уравнение. Таким образом, уравнение в первом приближении можно понимать как равенство двух буквенных выражений.

Равенство числовых выражений иногда называют безусловным равенством, т.е. равенством безусловно верным, или безусловно неверным. Уравнение с этой точки зрения можно считать условным равенством - при одних условиях (т.е. при одних значениях букв) оно может оказаться верным, при других - неверным. Тождество - это равенство, при всех допустимых значениях букв. Его тоже можно считать частным случаем уравнения.

Уравнения - это не просто формальное равенство двух выражений. Главное в понятии уравнения - это постановка вопроса о его решении. Следовательно, уравнение - это равенство двух выражений вместе с призывом найти его решение. Что же значит решить уравнение?

Буквы, входящие в состав уравнения (т.е. в состав выражений, образующих уравнение), называются неизвестными. Если такая буква одна, то говорят, что мы имеем дело с уравнением с одним неизвестным. Значение неизвестного, при подстановке которого уравнение превращается в верное числовое равенство, называется корнем уравнения. Решить уравнение с одним неизвестным, значит найти все его корни. Полезно помнить, что подставлять в уравнение можно любое значение х. При каком-то значении х может получиться бессмысленное числовое выражение, а при х из области допустимых значений получится осмысленное числовое равенство. Если при этом оно окажется еще и верным, то взятое число х является корнем уравнения. Уравнение может иметь один корень, например, х=5.Все корни (решения) уравнения образуют множество корней. Слово множество не означает, что корней очень много (великое множество). Если множество корней обозначить одной буквой, например х, то ответ может быть записан иначе. Примеры записей ответов с употреблением теоретиком множественных обозначений: x ={5}

Способы решения уравнений.

В курсе математики начальных классов уравнение рассматривается как истинное равенство, содержащее неизвестное число.

Термин решение употребляется в двух случаях: он обозначает так число (корень), при подготовке которого уравнение обращается в верное числовое равенство, так и сам процесс отыскания такого числа, т.е. способ решения уравнения. В данной работе для нас важнее второе толкование этого термина, поэтому рассмотрим некоторые способы решения уравнений более подробно.

Способы решений уравнений могут быть различными, желательно, чтобы учащиеся овладели их разнообразием. Выделяют следующие способы решения уравнений: способ, основанный на подборе значений переменной, способ, основанный на знании состава чисел, способы основанные на зависимостях между компонентами и результатами действий, графический способ, способы, основанные на разностном и кратном отношении чисел. Рассмотрим некоторые из них более подробно.

Способ подбора.

При решении уравнений в начальной школе не редко используется способ подбора. Прежде всего он формирует осознанный и материалистически верный подход к решению уравнений, т.к. ученик сразу ориентируется на то, что подобранное им число он должен проверить, т.е. подставить его и выяснить, верное или неверное числовое равенство при этом получится. Так, решая уравнение x+2=5, ученик пробует подставить вместо x число 1, 2, 3. Даже если ученик смог сразу дать правильный ответ, он должен еще доказать его правильность, подставив найденное число в уравнение вместо х. В этом случае для проверки осознанности, действий учащегося можно задать ему вопрос: Почему х не может равняться 2? (Если вместо х подставить 2, то получится 4, а не 5).

Используя способ подбора, учащиеся смогут справиться и с решением уравнений на нахождение неизвестного уменьшаемого или вычитаемого. При подборе чисел в процессе решения уравнений ученик должен прежде всего, подумать, с какого числа целесообразнее его начать.

Все рассуждения, связанные с подбором решения уравнения и его проверкой, осуществляются устно. Способ подбора формирует у учащегося умение оценить, проанализировать записанное уравнение, что создает благоприятные условия для решения уравнений в дальнейшем с помощью правил.

Решение уравнений на основе соотношения между частью и целым.

Уравнения на сложение и вычитание с фигурами, линиями, числами рассматриваются в программе Л.Г. Петерсон.

Составляя подобные равенства, учащиеся на основе практических предметных действий выводят и усваивают правила:

·целое равно сумме частей

·чтобы найти часть, надо из целого вычесть другую часть

Взаимосвязь между частью и целым является затем для учащихся тем удобным и надежным инструментом, который позволяет им легко решать уравнения с неизвестным слагаемым, уменьшаемым, вычитаемым.

Решение уравнений на основе зависимости между компонентами действий.

После того как учащиеся научатся решать простейшие уравнения вида: х + 10 = 30, х+ 17 =40 и т.п. им предлагаются более сложные уравнения, для нахождения неизвестного компонента, в которых необходимы определенные преобразования. Для решения таких уравнений необходимы знания порядка действий в выражении, а также умения выполнять простейшие преобразования выражений.

Первыми рассматриваются уравнения, в которых правая часть задается не числом, а числовым выражением, например: х+25=50·14 илих+25=12 ·3. При решении подобных уравнений учащиеся вычисляют значение выражения в правой части, после чего уравнение сводится к простейшему.

На протяжении длительного периода учащиеся упражняются в чтении, записи, решении и проверке таких уравнений, причем в левую и правую части их включаются простейшие выражения всех видов в различных сочетаниях. Наиболее сложными являются уравнения, в которых один из компонентов - выражение, содержащее неизвестное число х, например: (х+8) - 13=15, 70 + (40 - х)=96 и т.п., так как при решении уравнений данной структуры приходится дважды применять правила нахождения неизвестных компонентов. Например, рассматривают на уроке уравнение (12-х)+10=18. Очень важно правильно прочитать его, выяснить последнее действие, назвать компоненты, выделить каждое слагаемое, затем дети говорят о том, что неизвестное входит в первое слагаемое. После нахождения неизвестного слагаемого, после преобразования дети получают простейшее уравнение, в котором неизвестное вычитаемое. После нахождения вычитаемого х=4 необходимо сделать проверку решения уравнения.

Обучение решению уравнений этого вида требует длительных упражнений в анализе выражений и хорошего знания правил нахождения неизвестных компонентов.

Овладение навыками решения уравнений данного вида способствует преемственному обучению.

Решение уравнений на основе знаний конкретного смысла умножения.

При решении уравнений в начальной школе используется способ решения уравнения на основе знаний конкретного смысла умножения. В ходе решения уравнения вида 17+17=17·х можно преобразовывать левую часть. Проанализировав вид уравнения, можно найти рациональный способ его решения.

Необходимо заменить сумму одинаковых слагаемых действием умножения. Затем сравнивая левую и правую часть, делается вывод, что этот вид уравнения можно решить на основе конкретного смысла умножения

Этот способ формирует у учащегося умение "оценивать", "проанализировать" записанное уравнение, что создает благоприятные условия для решения уравнений в дальнейшем.

Решение уравнений способом методического приема с весами.

Таким способом решаются сложные уравнения вида 2·х+8=20 или 2·(х+8)=20. Весы находятся в равновесии. Ставится вопрос: как "избавиться" от числа? В таком случае дети сами догадаются, что если из каждой части весов убрать по 8, то равновесие сохраняется. Если же это число убрать только с одной чаши, то весы будут не в равновесии. Значит, это число нужно убрать с обеих чаш. При решении уравнений таким способом нужно обратить особое внимание на то, что сложение и вычитание - это взаимообратные арифметические действия.

Ученик использует в своих суждениях план, который определяет "шаги", ведущие к достижению поставленной цели. Этот способ позволяет учащимся учится рассуждать, переносить общие суждения на частные, ускорить осознание изучаемого материала.

Учащиеся, освоившие решение уравнений в начальных классах не испытывают трудностей в обучении математике в V классе.

1.2 Методика изучения уравнений в начальной школе

Изучение уравнений начинается с подготовительного этапа уже в 1 классе, когда дети, выполняют задания, связанные с нахождением неизвестного числа в «окошке», например:

Дети находят число либо подбором, либо на основе знаний состава числа. На данном этапе учителю необходимо включать в устные упражнения следующие задания:

Сколько надо вычесть из 3, чтобы получилось 2?

Сколько надо прибавить к 2, чтобы получилось 4?

На втором этапе учащиеся знакомятся с понятиями «уравнение». На протяжении нескольких уроков дети учатся решать уравнения с неизвестным слагаемым, уменьшаемым, вычитаемым. Названия компонентов арифметических действий были введены в речевую практику учащихся и использовались для чтения равенств и выражений, пока правило нахождения неизвестного компонента в уравнениях не заучивается. Уравнения решаются на основе взаимосвязи между частью и целым. При изучении данной темы дети должны научиться находить в уравнениях компоненты, соответствующие целому (сумма, уменьшаемое), и компоненты, соответствующие его частям (слагаемое, уменьшаемое, разность). При решении уравнений детям нужно будет вспомнить лишь два известных правила:

Целое равно сумме частей.

Чтобы найти часть, надо из целого вычесть другую часть.

Для того чтобы облегчить работу над формированием навыка решения уравнений, я разработала несколько упражнений.

.Составление и решение уравнений по схеме.

2. Составление и решение уравнений с помощью модели числа.

Решите уравнение:

Х + D: : = DDD:

Замените модели числами:

Уравнения с буквами.

Как из волка получить вола?

ВОЛК - Х = ВОЛ

Х = ВОЛК - ВОЛ

Составление и решение уравнений с помощью числового луча.

5. Выполни проверку и найди ошибку.

Дети решают: 24 + 8 = 16

Составить уравнения с числами Х, 4, 10 и реши их.

Дети решают:

Х + 4 = 10;10 - Х = 4;Х - 10 = 4 и т.п.

Из данных уравнений реши те, где Х находится сложением.

Х +16 = 20;Х -18 = 30;29 - Х = 19

Рассмотри решение уравнения и вставь соответствующий знак.

К концу изучения темы дети учатся комментировать уравнения через компоненты действий. Работа строится следующим образом:

) читаю уравнение;

) нахожу известные и неизвестные компоненты (части и целое);

) применяю правило (по нахождению части или целого);

) нахожу, чему равен Х;

) комментирую через компоненты действий.

Следующий этап - решение уравнений вида:

а? Х = в; а: Х = в;

Уравнения этого вида решаются на основе взаимосвязи между площадью прямоугольника и его сторонами. Поэтому изменяется и графическое обозначение компонентов уравнения:

Площадь прямоугольника, а _____ - его стороны. Здесь важно понять то, что обучение решению и комментированию уравнений ведется по определенной схеме:

этап: Решение с одновременным комментированием правил нахождения площади и его сторон. Например, Х: 2 = 5 (Х - площадь прямоугольника, 2 и 5 - его стороны).

Х = 2 ? 5 (чтобы найти площадь прямоугольника, надо перемножить его стороны)

этап: Решение уравнений с комментированием(через площадь прямоугольника и его стороны).

Комментирование через компоненты действий после решения уравнения.

Для отработки навыков решения уравнений на умножение и деление можно использовать следующие упражнения.

Выполни проверку и найди ошибку.

Дети решают: 2: 2 = 4

Проанализируй решение уравнения и найди ошибку.

Ошибки: 1) 9 - это площадь, на целое, ее надо обозначить прямоугольником;

) Х - это сторона, надо площадь разделить на другую сторону.

Составь уравнения с числами 3, Х, 12 и реши их.

Дети составляют: 12: Х = 3; 3 ? Х = 12 и т.п.

Изданных уравнений реши те, которые решаются делением.

Х? 2 = 6;Х: 4 = 16;12: Х = 4

Рассмотри решение уравнений и вставь соответствующий знак в запись уравнения.

Составь и реши уравнение:

Какое число надо умножить на пять, чтобы получилось 25?

Х? 3 = 15; Х: 4 = 5; 16: Х = 2

Какое уравнение лишнее? Объясни свой выбор.

Дети объясняют:

первое уравнение - Х равен нечетному числу;

второе уравнение - Х находим умножением;

третье уравнение - неизвестен второй компонент и т.п.

Последний этап при работе с уравнениями в начальной школе - знакомство учащихся с составными уравнениями. Решение таких уравнений строится на качественном анализе выражения, стоящего в левой части уравнения: какие действия указаны в выражении, какое действие выполняется последним, как читается запись этого выражения, какому компоненту этого действия принадлежит неизвестное число и т.п. К этому времени учащиеся должны твердо овладеть следующими умениями:

решение простых уравнений,

анализ решений уравнений по компонентам действий,

чтение записи выражений в два - три действия,

порядок выполнения действий в выражениях со скобками и без них.

На данном этапе дети должны понимать, что в записи уравнений в качестве неизвестного числа могут использоваться различные буквы латинского алфавита, например: К + 4 = 3; Р - 3 = 8; Z: 7 = 6 и т.п.

Запись решения уравнений сопровождается словесным описанием выполняемых действий. Для выработки правильной математической речи и навыков решения первых уравнений данного вида необходимо использовать таблицы с образцами решений. Но так как дети уже с 1-го класса знакомы с записью различных алгоритмов, то можно использовать только алгоритм решения уравнений, по которому дети и анализируют уравнения.

При решении таких уравнений учитель должен уделять особое внимание проверке. В начальной школе следует формировать умение выполнять проверку сначала письменно, а затем уже и устно. Ведь приучать детей к самоконтролю необходимо с первого класса. Порой учитель может видеть, как дети бездумно подставляют вместо неизвестного числа его значение и только переписывают ответ (не выполняя саму проверку). Чтобы проверка выполнялась детьми при самостоятельной работе, необходимо «заставить» каждого ребенка сделать ее (т.е. поработать над ней).

Рис. 1 Алгоритм решения составного уравнения

Рис. 2 Алгоритм решения уравнений на основе части и целого.

Рис. 3Алгоритм решения уравнений на основе части и целого.

Рис. 4 Алгоритм решения уравнений на основе взаимосвязи между компонентами и результатами арифметических действий.

+ Х = 7

3 - часть, Х - часть, 7 - целое (3 и Х подчеркну, 7 обведу кружком).

Чтобы найти неизвестную часть, нужно от целого отнять известную часть.

1.Х - первое слагаемое; 28 - второе слагаемое; 53 - сумма.

.Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

53 - 28 = 25

.25 - корень уравнения.

Рис 4 Алгоритм решения уравнений на основе взаимосвязи между площадью прямоугольника и его сторонами.

? Х = 21

3 - сторона, Х - сторона, 21 - площадь (3 и Х подчеркну, 21 обведу прямоугольником).

Чтобы найти неизвестную сторону, нужно площадь разделить на известную сторону.

7 - корень уравнения.

Рис. 5 Алгоритм решения уравнений на основе взаимосвязи между площадью прямоугольника и его сторонами.

1.3 Способы развития познавательного интереса к математике

Что может заставить младшего школьника задуматься, начать размышлять над тем или иным математическим заданием, вопросом, задачей, когда эти задания необязательны для него? Во всяком случае - не принуждение. Принуждение извне может лишь угнетать, а не возбуждать мыслительную деятельность ребенка. Не всегда могут активизировать мысль ученика и словесные просьбы и убеждения.

Основным источником побуждения младшего школьника к умственному труду на занятиях математики может послужить интерес. Поэтому учитель должен искать и находить средства и способы возбуждения интереса детей к тем математическим, логическим заданиям, которые он предлагает в процессе работы. Вызванный у детей интерес к отдельным заданиям, к математике вообще послужит стимулом для их участия в выпуске математической газеты, создания математического уголка, активного участия в математических викторинах, экскурсиях и т.п. Происходит и обратное влияние: участие в интересных математических экскурсиях, викторинах, выпуске газет, в занятиях, на которых предлагаются занимательные упражнения, могут возбудить интерес и к самой математики.

Чтобы возбудить интерес к математике надо постараться не только привлечь внимание детей к каким-то ее элементам, но и вызвать у ребенка удивление. У детей удивление возникает тогда, когда они видят, что сложившаяся ситуация не совпадает с ожидаемой. Если при этом удивление связано с возникновением некоторого удовольствия, то оно и превращается в приятное удивление. При непродуманной ситуации может быть и наоборот: возникнуть неприятное удивление. Надо учитывать, что удивление вызывает у детей более острое, сосредоточенное внимание. Удивление должно соседствовать с любопытством ребят, со стремлением их увидеть на математическом фоне что-то новое, узнать что-то до сих пор им не известное.

Удивление в сочетании с любопытством поможет возбудить активную мыслительную деятельность учащихся.

Привлечь первоначальное внимание детей к математике, например, можно разными средствами: особым, красочным оформлением классного помещения, в котором отражалось бы удивительное сочетание знакомого детям мира сказок с таинственным миром математики, необычными вступительными словами учителя, создавшего этим ситуацию, в которую включены детьми герои современных сказок и рассказов. Математика и сказки! Математика и любимые герои! Разве это не привлечет внимание ребят и не вызовет у них радостного удивления? Удивление и интерес вызывают у детей занимательно сформулированные вопросы, задачи, загадки, шарады, ребусы, несложные логические упражнения.

Интерес, как и другой вид эмоционального состояния, имеет явное внешнее выражение на лицах детей, в их поведении, словесных откликах. По этим внешним признакам учитель всегда может судить о том, вызван ли у детей интерес к данному внеклассному виду работы или нет. Однако приходится иногда сожалеть, что некоторые учителя на внеклассных занятиях в моменты повышенного интереса детей, во время вдохновенной мыслительной их работы, сопровождаемой внешним их возбуждением, бывают слишком строги к поведению ребят, стараясь заглушить в зародыше естественное внешнее проявление детьми своих чувств. С полной уверенностью мы утверждаем, что при соблюдении определенной меры на занятиях можно допускать более свободное переживание детьми удовольствий, с более свободным внешним их проявлением. Тогда у детей будет дольше сохраняться тот заряд интереса, который возник во время внеклассной работы, и служить стимулом к участию в последующих видах этой работы. Значительно лучше, скорее и прочнее запоминаются те мысли, которые были эмоциональны, вызвали живые, яркие чувства, чем те, которые оставили человека равнодушным.

Привлечь внимание детей и вызвать их удивление - это лишь начало возникновения интереса, и добиться этого сравнительно легко; труднее удержать интерес к работе по математике и сделать его достаточно стойким. Выше мы отметили, что для сохранения дальнейшего интереса к работе по математике нужно, чтобы дети не растеряли те чувства удовольствия, которые возникли у них на занятиях. Но это лишь один из приемов.

Поддерживая интерес различными приемами, надо его постепенно воспитывать: вначале как интерес к своей непосредственной деятельности во время занятий, затем чтобы он перерастал в интерес к математике как науке, в интерес к процессу самой мыслительной деятельности, к новым знаниям в области математики. Этот процесс сложный, длительный и его результаты зависят, главным образом, от педагогического мастерства учителя. В этом процессе нет готовых рецептов. Однако есть некоторые общие положения, которые не новы, но которых следует придерживаться в процессе воспитания интереса к математике. При организации работы по математике надо добиваться максимальной деятельности каждого ученика - организаторской, трудовой, особенно мыслительной для выполнения всевозможных заданий. Надо, чтобы каждый представлял себя или был действительно активным участником той ситуации, которую организовал учитель. (Это относится и к ситуации, описанной в задаче, к проводимой игре, к изготовлению наглядных пособий, к выпуску стенной газеты, плакатов, к созданию математического уголка и т.п.)

Материал, преподносимый учителем или предлагаемый отдельными учениками, должен быть понятен каждому ученику, иначе он не вызовет интереса, так как будет лишен для них смысла. Для поддержания интереса во всяком новом должны быть определенные элементы старого, известного детям. Только при условии установления связи нового со старым возможны проявления сообразительности и догадки. По отношению к большинству участников работы необходимо для выполнения математических заданий предусматривать оптимальные соотношения между новыми и старыми знаниями и умениями. Перегрузка заданий применением только старых знаний и умений или только новыми снижает интерес к этим заданиям. Оптимальное соотношение между указанными знаниями и умениями создает условия для достаточно длительного сохранения интереса детей к математическим заданиям.

Для облегчения перехода от известного к неизвестному в процессе занятий по математике полезно использовать различные виды наглядности: полную предметную наглядность, неполную предметную наглядность, символическую и представления по памяти, - исходя из того уровня развития в сознании учащихся, на котором находятся соответствующие математические понятия. Особенно умело и вовремя надо использовать детское воображение. Оно у них яркое, значительно сильнее интеллекта. Поэтому неудивительно, что волшебные сказки и для младших школьников еще не заметно вплетаются в действительность и служат прекрасным средством не только развлечения, но и воспитания и развития.

Устойчивый интерес к внеклассной работе по математике и к самой математике поддерживается тем, что эта работа проводится систематически, а не от случая к случаю. На самих занятиях постоянно должны возникать маленькие и доступные для понимания детей вопросы, загадки, создаваться атмосфера, возбуждающая активную мысль учащихся. Учитель всегда может выявить силу возникшего интереса к математике. Она выражается в той настойчивости, которую проявляют ученики в процессе решения математических задач, выполнения различных заданий, связанных с разрешением математических проблем.

Вывод в 1 главе

Глава 2. Разработка и анализ уроков

Мною были разработаны 3 урока по математике (приложение) в 3 классе на тему «Решение уравнений». Эти уроки были проведены мною в СШ№ 31 г. Могилева, в 3 «Г» классе (учитель Короткевич И.И.). Анализ уроков был проведен совместно с учителем 2 категории Короткевич И.И. и учителем высшей категории Пшенко М.В.

2.1 Анализ проведенных уроков

Урок был организованным, дисциплина на уроке хорошая. На уроке присутствовали различные формы работы. Рабочее место учителя и ученика было рационально организованным. В начале урока была проведена интересная разминка, что способствовало более быстрому включению детей в урок, повышению интереса к уроку. Для того чтобы у учащихся появился интерес к уроку, чтобы мобилизовать внимание всего класса, было прочитано стихотворение. Цели урока определялись совместно с детьми. На уроке присутствовала письменная и устная работа. Урок был посвящен решению уравнений. Материал урока был разнообразным, и отражал основные задачи развития и обучения младших школьников по этой теме. Структура урока соответствовала типу и целям урока.

Учитель на уроке закреплял вычислительные навыки. Этому способствовали задания, предлагаемые учителем, особенно устный счет в начале урока. Учитель на уроке использовал дополнительный материал, что увеличило методическую ценность урока.

Учащиеся на уроке выполняли разнообразные задания: примеры, уравнения, задачи, логические цепочки (они содержали элемент занимательности).

Формы организации деятельности учащихся: фронтальная, индивидуальная, парная. Учитель использует на уроке следующие приемы: сравнение, анализ, сопоставление; методы обучения: беседа, рассказ, практические методы, элементы проблемного обучения.

Учащиеся на уроке были активными, работоспособность была хорошей. Психологическая атмосфера на уроке положительная. Учитель соблюдает валеологический подход (делает замечания по поводу осанки, проводилась физминутка). На мой взгляд, урок целей достиг. Урок также ценен своей воспитательной составляющей.

После проведения уроков, с учащимися был проведен тест на определение знаний по теме «Решение уравнений» (приложение 4). Результаты теста показали, что все учащиеся усвоили правила решения уравнений. Это свидетельствует о том, что применение связи математики с другими науками (историей, географией, обществоведением и др.) повышает познавательную активность учащихся на уроках математики и способствует хорошему усвоению учебного материала.

Выводы по 2 главе

В разработанных уроках, уравнения показывали не только числовые характеристики того или иного предмета, но и способствовали повышению интереса к изучению математики, показывали ее практическое применение и связь с другими науками (биологией, географией).

Заключение

В данной курсовой работе мы рассмотрели методику преподавания темы "Уравнения" в начальной школе.

Уравнение - это самая простая и самая распространенная форма математической задачи. Возьмем два числовых выражения и поставим между ними знак равенства. Мы получим числовое равенство. Оно будет верным или неверным в зависимости от того, равны или не равны значения взятых числовых выражений.

Решить уравнение - это значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Способы решения уравнений: способ, основанный на подборе значений переменной, способ, основанный на знании состава чисел, способы основанные на зависимостях между компонентами и результатами действий, графический способ, способы, основанные на разностном и кратном отношении чисел.

Большую трудность для младшего школьного возраста представляет умение решать уравнения. Изучение уравнений в начальной школе носит пропедевтический характер. Поэтому очень важно подготовить детей в начальной школе к более глубокому изучению уравнений в старших классах. В начальной школе в процессе работы над уравнением закрепляются правила о взаимосвязи части и целого, сторон прямоугольника с его площадью, формируются вычислительные навыки и понимание связи между компонентами действий, закрепляется порядок действий и формируется умения решать текстовые задачи, идет работа над развитием правильной математической речи. На уроках закрепления уравнения позволяют разнообразить виды заданий.

Это свидетельствует о том, что применение связи математики с другими науками (историей, географией, обществоведением и др.) повышает познавательную активность учащихся на уроках математики и способствует хорошему усвоению учебного материала.

В разработанных нами уроках просматривается различные виды уравнений, их практическое применение.

Список использованных источников

1.Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. М., 2006.

Гончарова М.А. и др. Учись размышлять: развитие математических представлений у детей. М.: Антал, 1999.

Ивашова О.А. Ошибки в порядке выполнения действий и пути их пре-дупреждения // Начальная школа. 1998. - №4.

Истомина Н.Б., Шмырева Г.В. Методика работы над уравнениями // Начальная школа. 2003. - №3.

Истомина Н. Б. Активизация учащихся на уроках математики в начальных классах: Пособие для учителя.- М.: Просвещение, 2005.- 64 с., ил.

Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: Учеб. пособие для студ. сред. и высш. пед. учеб. заведений. 3-е изд., стереотип. М.: Издательский центр Академия, 2000. 288 c.

7. Материалы сайта8. Популярная энциклопедия для детей. Всё обо всём. Т.6.- М.: «Ключ - «С», 1995. С.26.

Стойлова Л.П. Математика: Учебное пособие. М.: Академия, 1997.

Чабатарэўская Т.М., Дрозд У.Л., Столяр А.А. Математика. 3 класс. В 2-х частях. - Народная асвета, 2007.

11. Чеботаревская Т.М., Дрозд В.Л. Математика. 4 класс. В 2-х частях. - Народная асвета, 2008.

Канашевич Т.Н. Путешествие в страну занимательной математики. Рабочая тетрадь. III класс. Пособие для учащихся. - Аверсэв, 2011, 2012.

Канашевич Т.Н. Путешествие в страну занимательной математики. Рабочая тетрадь. IV класс. Пособие для учащихся. - Аверсэв, 2011, 2012.

Канашевич Т.Н. Путешествие в страну занимательной математики. III-IV классы. Пособие для учителя. - Аверсэв, 2010, 2012;

Методика работы над уравнениями в начальной школе. О. А. Коростелева// Начальная школа, №6 2008

Приложение 1

Цели: отработка навыков составления и решения простых уравнений; преобразование простых уравнений в сложные; решение сложных уравнений; решение составных задач путем составления сложного уравнения. Развитие внимания, памяти, математической речи, мышления. Воспитание патриотизма и чувства гордости за историческое прошлое России.

Ход урока.. Организационный момент.

Сегодняшний наш урок математики посвящен решению уравнений. Решение уравнения - это всегда нахождение неизвестного. А сегодня на эту проблему мы посмотрим не только с точки зрения математики, но и с точки зрения географии. И поэтому на сегодняшнем уроке мы не только будем находить неизвестные корни уравнений, но и будем мысленно проходить по дорогам географических открытий.

Девиз нашего урока: Дерзать, искать, найти и не сдаваться!

(Альфред Теннисон)

Повторим: - Что такое уравнение?

Что значит решить уравнение?

Что такое корень уравнения?

Какие виды уравнений вы знаете?. Логическая разминка.

Одним из основных инструментов путешественника является географическая карта. На ней есть символы, указывающие направления сторон горизонта. Это - север, юг, запад, восток.

) Решим ребус, расставив условные обозначения так, чтобы не было повторов в строчках и столбцах:

Таблица 1

Таблица 2

СЮВЗВЗСЮЮСЗВЗВЮС

2) Следующим основным инструментом путешественника является компас с его магнитной стрелкой, определяющей направление север - юг. Давайте сориентируемся и мы, выбрав правильный курс.

Найдем неизвестное число, составив и решив простые уравнения:

Эти числа имеют смысл. 28 января 1820 г. произошло очень знаменательное событие в мировой географической науке. Русские флотоводцы Фаддей Беллинсгаузен и Михаил Лазорев (Рисунок1 ) совершили географическое открытие, затем их плавание продолжалось 100 дней, и через 750 дней они прибыли в порт Кронштадт. А какое они совершили открытие, мы с вами сейчас узнаем.

) Алгоритм. Выполним вычисления по алгоритму и узнаем об открытии:

Это был открыт материк Антарктида 28 января 1820 г. русскими мореплавателями (Рисунок 2 ).. Повторение о признаках простых уравнений.

А готовы ли мы с вами пройти по дорогам исследователей Антарктиды? Испытаем себя.

В какой строчке записано уравнение?

А 46 - 20 = 26 Б в: 7 = 2 В 16 + а > 30 Г к? m = n - Какие строчки можно переделать в уравнения? Что в них будет неизвестно? - Что обозначает В? Чему оно равно?

4 млн км2 составляет ледовый щит Антарктиды.

В каком уравнении неизвестное число равно 4?

А в + 9 = 17 Б 27: с = 3 В 36: х = 9 Г z ? 2=4

Что означает х? До 4 км в высоту над уровнем моря возвышается ледовый щит Антарктиды.

В каком уравнении неизвестно слагаемое?

А а - 52 = 43 Б 26 + m = 96 В 84 - k = 48 Г в: 6 = 9

Чему равно m? До -70° С может достигать температура зимой в Антарктиде на полюсе холода.

Решите уравнение: х 3=81

А х = 78 Б х = 27 В х = 84 До -27° С градусов по достигает температура в Антарктиде летом на полюсе холода.

Какое уравнение решить нельзя? Почему?

А в - 14 = 0 Б 6 ? n = 0 В 8: a = 0 Г 9 + k = 0 Без хороших знаний о предмете своего исследования и подготовки нельзя отправиться в путешествие. Иначе может возникнуть опасность для жизни путешественника.. Решение и усложнение простых уравнений.

Как материк Антарктида была открыта в 1820 г. Но пройдет чуть меньше столетия и у нее будет открыт и достигнут исследователями Южный полюс. Попробуем и мы приблизится к этому открытию.

Таблица 1

y7 = 56 y + 13 = 60 54: у = 3 y - 6 = 26 y: 2 = 7 80 - у = 71Посмотрите на данные уравнения. На какие группы их можно разделить?

Решим систему неравенств:

10 < у < 20, у = 11, 12, 13,... 19.

Выпишите те уравнения, корни которых являются решением данной системы:

Усложним правую часть уравнений так, чтобы их корни не изменили своих значений:

: у = 27: 9 y = 18

у: 2 = 20 - 13. y = 14

декабря 1911 г. Р.Амундсен (норвежец), 18 января 1912 г. Р.Скотт (англичанин) достигли Южного полюса нашей планеты (Рисунок 3 ). Но на обратном пути экспедиция Р.Скотта погибла от голода и холода, не дойдя всего несколько км до базового лагеря. В ноябре 1912 г. спасательный отряд нашел палатку, а в ней замерзшие тела (Рисунок 4 ).. Решение сложных уравнении.

Шло время, и на антарктическом мысе Адер высадились 10 человек во главе с норвежцем Карстеном Борхгревинком. Это были первые люди, которые решили остаться на год в ледяных неведомых краях.

Составим сложное уравнение и узнаем дату высадки:

Я задумала число, вычла из него сумму 587 и 396 и получила разность 980 и 64.- (587 + 396) = 980 - 64 (Решение у доски с комментарием.)= 1899. Это событие произошло в 1899 г.. Решение составной задачи путем составления сложного уравнения.

А в середине XX века в 1958 г. зафиксирован рекорд численности населения в Антарктиде. Тогда на 20 станциях зимовали 872 человека. В настоящее время в Антарктиде ежегодно зимует около 600 человек из разных стран мира: Россия, США, ЮАР, Великобритания, Австралия и др. (Рисунок 5 ).

В настоящее время в Антарктиде действует 12 иностранных станций и 4 российских.

Составим по краткой записи задачу и решим ее с помощью уравнения:

x - человек на 1 российской станции; 4 - человек на всех российских станциях;

12 - человек на всех иностранных станциях;

Человек всего.

Получили уравнение:

х4+ 4012 = 600

Решив данное уравнение, получаем корень: x = 30.

Ответ: 30 человек зимует на каждой российской станции в Антарктиде.. Итог.

·Чему мы учились на уроке?

·Что было самым трудным?

·Что было интересным?

Антарктида не принадлежит ни одному государству. Из-за жестоких природных условий состав экспедиции там часто меняется. Исследователи обычно работают не более одного года. По международным соглашениям на ее территории запрещается проведение любых мероприятий военного характера. Неслучайно Антарктиду называют континентом мира и науки. Охрана природы Антарктиды закреплена международными законами.

Приложение 2

Тема урока: «Решение уравнений»

Цель урока: сформировать у учащихся навыки и умения работы с уравнениями при решении задач. Основные навыки и умения учащихся в области решения уравнений должны быть направлены на решение задач, в которых нет ни одного известного количественного параметра, но имеются данные о сумме этих компонентов.

План занятия:

1.Устный счет-разминка

2.Актуализация основных знаний и умений учащихся в проверочном диктанте

.Упражнения на составление выражений с буквенными величинами

.переход к решению задач с неизвестными величинами при помощи составления уравнений

.Формирование умений у учащихся работать по опорной схеме

.закрепление нового материала с помощью тренировочных заданий

.Обобщение в устной форме полученных знаний на уроке

.Задание на дом и обсуждение его выполнения

Ход занятия:

1.Устный счет разминка (каждый ученик передает эстафету следующему). Задания формирует учитель:

а) назовите какие числа в произведении дают 36 (36 и 1, 4 и 9, 6 и 6, 12 и 3);

Б) какое число можно разделить на 48 и получить в частном 2;

В) назовите примеры чисел в первом десятке чисел, которые делятся на 3;

Г) При вычитании из какого числа 9 -ки можно 45;

Д) При сложении с каким числом 25 дает в сумме 69;

Е) При умножении какого числа на 9 можно получить 72;

Ж) что надо вычесть из 390 чтобы получить 100.

Ценность проведения устной разминки в данной форме состоит в том, что у ребят начинают работать аналитические и синтетические функции мышления, некоторую трудность представляет эта разминка для учащихся со слабо развитым вниманием и восприятием на слух.

После таких примеров ученики переходят к решению уравнений на доске (2 ученика решают уравнения за закрытыми досками, а затем класс после сдачи своих работ, выполненных в домашних тетрадях, проверяет «по горячим следам» правильность решения, сверяя их с результатами на доске).

Для решения на два варианта предлагаются следующие уравнения

1.64+ Х=961. 6*Х=192

2.Х-253=2412. 100: Y=10

.564-х= 533. 239- х=114

Х: 7 =234. 189: Y=3

17*Y= 685. Х-527=313

96: X=126. 125*х=250

Х*2=1867. Y: 14=28

.2*Y+37 =478. 3*Х+48=138

.24: (y-5)=69. 35: (Y+3)=7

При решении отвечающий на доске называет неизвестный компонент уравнения, если компонент неправильно определен, то учащиеся класса (по желанию) называют компонент и предлагают путь решения. Максимальная оценка за все правильно решенные задания на доске и в тетради -11 баллов, при этом задания №8 и 9 оцениваются по два балла.

Ценностью такой формы проведения опроса является то, что ребята привыкают самостоятельно мыслить, а необходимый контроль и коррекция результатов приводит к более глубокому осмысливанию и запоминанию, первые семь заданий рассчитаны на безусловное знание решения простейших уравнений.

После проведения данной формы фронтального опроса с опорой на уже сформированные знания и навыки учащихся учитель плавно переходит к формированию знаний при решении задач на составление уравнений.

Для этого вначале возникает необходимость в формировании отвлеченных понятий на базе заданий подобных следующему. Учитель просит ребят составить выражение для следующей задачи « В одной корзине содержалось а груш, а в другой на 5 груш больше. Сколько груш содержалось во второй корзине?». Правильный ответ это а+5. Для ребят с проблемами логического мышления данная задача может быть проиллюстрирована предварительно подготовленным рисунком (рис.1).

Рис.1. Иллюстрация для составления выражения с буквой

Следующий вопрос будет логически верным для формирования у ребят навыков в составлении уравнений для задач. Необходимо не отвлекаясь от данного условия спросить у учащихся о том, сколько же груш будет содержаться в этих двух корзинах и записать с их слов полученное выражение, а именно (рис. 2). Представленную запись хорошо бы снабдить пояснительным указанием с подчеркнутой принадлежностью к разным корзинам

Рис.2. Запись выражения с буквой (пояснительные указания)

Несколько тренировочных заданий, подобных описанному выше помогут закрепить навыки составлений выражений с переменной. Эти упражнения можно записать на доске, например:

1.В одном ящике было в килограмм огурцов, а в другом на 25 кг больше. Сколько огурцов было во втором ящике. Сколько огурцов было в двух ящиках?

2.В одном мешке было с кг муки, а во втором на 9 кг больше. Сколько

Сколько кг муки было во втором мешке и сколько кг было в двух этих мешках вместе?

Также ребята должны уметь самостоятельно составляет подобные упражнения по рисункам, например по такому рисунку (рис. 3).

Рис.3. Иллюстрация для составления выражений

При составлении зданий самостоятельно у учащихся также включаются процессы анализа и обобщения. Теперь можно переходить к рассмотрению решения задачи на составление уравнения. Задачу также хорошо проиллюстрировать опорной схемой или рисунком.

Задача: «В двух кусках ткани было 208 метров. Во втором куске ткани было больше ткани на 4 метра. Сколько метров ткани в каждом куске?»

Для решения задачи хорошо составить рисунок (рис. 4).

Рис.4. Иллюстрация для облегчения работы с составлением уравнения в задаче

Необходимо обратить внимание учащихся на то, что неизвестные части в обоих куска равны, то есть представляют собой одинаковое количество материала. Наиболее сообразительные учащиеся могут предложить рецепт решения этой задачи устно, как то вычесть из 208 4 и затем поделить на 2, так как неизвестные куски и в первом и во втором рулоне ткани одинаковы. После изучения условия задачи необходимо задать учащимся вопросы:

1.сколько ткани было в первом куске ткани

2.сколько ткани было во втором куске ткани

.на сколько больше ткани было во втором куске

.сколько ткани хранилось в дух кусках вместе

.если обозначить первый кусок за х, то как можно определить длину второго куска, используя х (используя опыт составления выражений ребята легко ответят на этот вопрос - х+4)

.Попросите составить учащихся выражение для ответа на вопрос, сколько будет материала хранится в двух кусках - ответ Х+Х+4

.Обратите теперь внимание на то, что нам известно количество материала, хранящееся в двух кусках одновременно, то есть в сумме и предложите им сопоставить выражение с буквой и условие задачи, то есть ребята должны поставить знак равенства между Х+Х+5 и числом 208.

.Теперь на доске можно записать уравнение и снабдить еще раз его описательными стрелками

Рис.5. Схема для анализа задачи

Процесс решения уравнения теперь не представляет ля ребят трудности, только необходимо обратить внимание на то, что Х+Х =2Х, а затем перейти к уравнению с неизвестным слагаемым 2х +4=208; 2*Х=208-4; 2*Х=204; Х=204/2 ; Х=102.

Фактически найдена длина первого куска и теперь, обратив внимание на условие или на схему, ребята могут найти и длину второго куска, то есть 102+ 4=106.

Необходимо выполнить проверку рассуждением найденного и сопоставлением имеющихся в задаче данных, то есть еще раз обратить внимание на то, что найденные куски первого рулона, то есть 102 и второго, то есть 106, в сумме должны дать нам 206, что соответствует данному условию задачи.

Предложите теперь ребятам в качестве самостоятельной работы решить задачу по схеме с условием

Рис.6 Схема к анализу задачи

После решения задачи спросите у ребят какие моменты решения задачи непонятны и попросите решить эту же задачу без составления уравнения.

Задание на дом должно содержать 25% от решенного в классе на уроке, поэтому можно определить его так:

Повторить основные компоненты уравнений

1.Решить уравнения, используя проверку

В) 2*Х + 15 =35

Г) 128+Х+Х=998

Составить и решить задачу

по схеме (рис.7):

Рис. 7 Рисунок для составления задачи

После обсуждения домашнего задания, необходимо провести заключительный этап урока, то есть попросить ребят ответить на вопросы и сделать главный вывод урока.

Вопросы могут быть следующего содержания

Когда возникает необходимость составления уравнения в задаче

Как мы обозначаем неизвестный нам компонент задачи

Сколько будет Х+Х

Как найти неизвестной слагаемое в уравнении

Для чего нам нужно делать проверку после решения уравнения и задачи

Приложение 3

Урок математики в 3 классе на тему: «Решение уравнений»

Технологии: презентация

Закреплять умение решать уравнения разных видов: х + 86 ? 87; 28 - х? 10; х × 2 ? 80; 21: х? 3.

Совершенствовать устные и письменные вычислительные навыки и умение работать самостоятельно.

Формировать познавательный интерес учащихся к предмету.

Воспитывать взаимоуважение и доброжелательное отношение к товарищам.

Оборудование:

.Индивидуальные карточки с цифрами, головоломки, красный карандаш для каждого ученика, цветные фишки - звёзды, рисунок чемоданчика.

.Тесты для каждого ученика.

Ход урока:

I. Организационный момент.

Учитель:

Повторяйте за мной!

Я желаю тебе сегодня добра.

Ты желаешь мне сегодня добра.

Мы желаем друг другу сегодня добра

Если тебе будет трудно, я тебе помогу!

Ребята, вы любите путешествовать?

Дети: - Да.

Учитель:

Мы посетим удивительное место и во время путешествия закрепим умение решать уравнения.

II. Устный счёт.

.Решение примеров с «окошками». Работа в парах.

Учитель:

Куда мы отправимся, - вы сейчас догадаетесь сами. Перед вами примеры с пропущенным числом. Прежде, чем приступить к выполнению задания, вспомним правила нахождения неизвестного компонента. Работать будем в парах. Главное правило - доброжелательность и взаимовыручка. Расскажите соседу по парте, как найти неизвестное число в выражении, затем поменяйтесь. Во время работы мы проверим, как вы знаете эти правила.

70 8 × ? ? 32

: ? ? 3 ? : 2 ? 7

Учитель:

А теперь догадайтесь, какое число пропущено в «окошечке», найдите его на рисунке и назовите рядом стоящую букву. Сейчас вы узнаете, куда мы отправимся

Дети: - МИНСК.

Учитель:

Что вы знаете о Минске?

Дети: -Столица.

Учитель:

Тогда в путь. (Звучит песня « Если с другом вышел в путь»).

Легче решать

И побеждать.

.Решение уравнений. Работа по вариантам.

Учитель:

Отправиться можно на машине или на поезде.

I в. Верно решив уравнение, узнаете, сколько времени мы затратим на дорогу, если поедим на машине.

II в. Верно решив уравнение, узнаете, сколько времени мы затратим на дорогу, если поедем на поезде.

Ответы сказать « по секрету» - на ушко.

Проверим.

III. Чистописание.

Учитель:

Вот мы на главной площади страны - Октябрьской площади. Кто знает, почему её так называют?

Учитель:

Какую отметку ставит учитель, если у ученика в тетради записано всё верно и красиво?

Дети:

Учитель:

Возьмите листочки с напечатанными цифрами и за 1 минуту зачеркните все 10. (На листочке вразброс напечатаны разные цифры, количество «10» соответствует дате проведения урока.)

Сосчитайте, сколько зачеркнули цифр? (24)

Проверим, все ли внимательны?

Запишите число, классная работа.

Пропишите красиво строчку числа 10.

Надеюсь, что в конце урока вы заслужите эту отметку.

IV. Решение уравнений.

Учитель:

Сейчас мы с вами поговорим о национальной библиотеке.

Решив первое уравнение, вы узнаете высоту Национальной библиотеки.

Дети: - 74 метров.

Решив второе уравнение, вы узнаете сколько этажей в Национальной библиотеке

Дети : - 23 этажа.

Решив 3 - е уравнение, вы из скольких граней состоит здание национальной библиотеки

Дети: - 26 граней

Физ. минутка. (Под музыку песни « А я иду, шагаю по Москве»).

VI. Самостоятельная работа.

Учитель:

Подходит к концу наше путешествие. Давайте проверим свои знания